équation

[thearmy]

Bnsoir, j'ai une équation à resoudre mais je n'arrive pas (:

Voici l'équation :
x^3+3x^2+2x+6=0

[Dinozzo13]

Il s'agit d'une équation de degré Il nous faut donc trouver une racine évidente pour pouvoir factoriser le polynôme en un produit de deux facteur : le premier de degré et le deuxième de degré car lors du produit, les exposants s'ajoutent. On pourra ainsi trouver les deux dernières racines (si elles existent) du trinôme qui a permis la factorisation du polynôme grace à une identification.
Pour cela, commence déjà par trouver une valeur comprise entre et qui puisse annuler le polynôme.

[thearmy]

j'ai trouvé -3

[Dinozzo13]

Je te fais confiance :++: ,on peut donc factoriser.
Pour , le polynôme est nul par conséquent il existe un trinôme tel que, pour tout réel :

avec

[thearmy]

ca fait donc (x+3)(x^2/3 + 3x/3+ 2/3+ 6/x+3)=0 non?

[Dinozzo13]

Le début partait bien, mais c'est moins rapide que ça.
Tu as en effet , mais aussi :
Donc pour tout réel :

avec , avec
Pour pouvoir ensuite procéder par identification, il faut exprimer sous la même forme que , il faut donc développer .

[thearmy]

(x+3)(ax^2+bx+c)
ax^3+bx^2+cx+3ax^2+2bx+3c

[Dinozzo13]

Presque, regroupe les termes en et

[thearmy]

ax^3+bx^2+3ax^2+2bx+cx+3c

[Dinozzo13]

Encore, il faut que les coefficients des termes en et soit rassemblés.

[thearmy]

= ax^3+x(c+2b)+ x^2(b+3a)+3c

[Dinozzo13]

Voilà (petite erreur, c'est et non pas ) , on a donc or deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients sont égaux, donc par identification, ça équivaut à :

Tu trouves , et , tu en déduis donc puis

[thearmy]

a=1
b+3a=3
b+3*1=3 donc b=0
c+3b=2 d'ou c+0=2 d'ou c=2

3c=-6 or 3*2 diff de -6?

[Dinozzo13]

oui, c'est et non je sais pas pourquoi, j'ai transformé ton en ???
Mais c'est bien :++: donc , et .
Par conséquent et donc

[thearmy]

(x+3)(x^2+2)?

[Dinozzo13]

bah, tout bêtement tu remplaces par ce que tu as trouvé, et .
On sait qu'une des racines de ce polynôme est d'où le facteur . Pour savoir si il existe d'autres solutions, il faut résoudre . Tu veux le résoudre dans quoi ? ou ?
Si c'est dans , alors c'est immédiat.

[thearmy]

c'est quoi C ?
dans R x^2+2= 0 x^2=-2 n'a pas de solution?

[Dinozzo13]

Exact donc .
Tu ne dois pas être en terminale S mais en 1re S alors.
Pour info est l'ensemble des nombres complexes de la forme avec réels et tel que .

[thearmy]

oui je suis en première S, c'est juste une fonction qui est la différence de deux fonctions f et g