Le plan n'est pas une réunion dénombrable de droites (sans Baire)

par **kingsize** » 28 Déc 2009, 16:59

Bonjour,

comment démontrer que IR² n'est pas une réunion dénombrable de droites, sans utiliser le théorème de Baire ? On peut bien entendu s'aider du fait que IR n'est pas dénombrable.

Merci bien.

par **Doraki** » 28 Déc 2009, 17:24

Si on a un nombre dénombrable de droites, on a des directions qui ne sont pas prises par les droites.
En regardant ce qui se passe sur une droite D portée par une de ces directions, on a un nombre dénombrable d'intersection avec les droites, et ça ne peut donc pas recouvrir la droite D, et a fortiori, pas le plan.

par **yos** » 28 Déc 2009, 18:15

On peut aussi dire que c'est de mesure nulle.

par **Nightmare** » 29 Déc 2009, 00:53

Ne peut on pas simplement dire en terme de points que la réunion contiendrait {0}x(R-Q) qui est indénombrable par exemple?

par **alavacommejetepousse** » 29 Déc 2009, 08:18

Nightmare a écrit:Ne peut on pas simplement dire en terme de points que la réunion contiendrait {0}x(R-Q) qui est indénombrable par exemple?

bonjour
à moins que qq chose m échappe , chaque ensemble de la réunion étant indénombrable il n y a pas de contradiction à ce qu elle contienne un ensemble indénombrable

par **kingsize** » 31 Déc 2009, 13:04

alavacommejetepousse a écrit:bonjour
à moins que qq chose m échappe , chaque ensemble de la réunion étant indénombrable il n y a pas de contradiction à ce qu elle contienne un ensemble indénombrable

exact, la solution proposée par yos me semble être la plus simple. Maintenant, comment démontrer qu'une droite du plan est de mesure nulle, à part dire que son "aire est nulle" ?

par **Nightmare** » 31 Déc 2009, 13:20

alavacommejetepousse a écrit:bonjour
à moins que qq chose m échappe , chaque ensemble de la réunion étant indénombrable il n y a pas de contradiction à ce qu elle contienne un ensemble indénombrable

Je précise un peu :

Prenons l'ensemble des couples (x,sqrt(x)) avec x irrationnel. Cette ensemble a bien évidemment la puissance du continu. Si on écrit R² comme union dénombrable de droite, chacune de ces droites contiendrait au plus deux points de cette forme...

par **yos** » 31 Déc 2009, 13:27

kingsize a écrit:la solution proposée par yos me semble être la plus simple.

Ca utilise quand même des choses sur la structure du plan contrairement à ce que fait Doraki.
Nightmare prend un ensemble non dénombrable de droites, donc l'une d'elle au moins (D) ne fait pas partie de la famille F dont on considère la réunion. Mais c'est là qu'il faut l'argument de Doraki : D rencontre les éléments de F en au plus un nombre dénombrable de points.

kingsize a écrit:lcomment démontrer qu'une droite du plan est de mesure nulle, à part dire que son "aire est nulle" ?

On définit l'aire par la notion de mesure.
Un segment est un rectangle aplati donc de mesure nulle. Une droite aussi comme réunion dénombrable de segments.

par **yos** » 31 Déc 2009, 13:29

Nightmare a écrit:Prenons l'ensemble des couples (x,sqrt(x)) avec x irrationnel.

Tu t'embêtes pour rien avec les irrationnels.

par **miikou** » 31 Déc 2009, 16:25

ou alors bcp plus simplement que lensemble de ces droites est equipotent a [0,2pi[ donc a IR

ps= ou du moins un a un sous ensemble infini pas denombrable, par contraposition tu en deduiras ce que tu voudras

Le plan n'est pas une réunion dénombrable de droites (sans Baire)

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