Justification de limites

par **Costorm** » 30 Déc 2009, 18:36

Bonjour,

J'ai un exercice avec des limites à trouver. J'obtiens le résultat grâce à la calculatrice, néanmoins je n'arrive pas à justifier.
Pourriez-vous m'aider ?

Voici les limites et le résultat que je trouve (sans parvenir à avoir la justification donc ) :

lim quand x -> 1 de ln(x) / (x-1) = 1
Faut-il faire un changement de variable pour justifier ? Autre chose ?

lim quand x -> 0 de 1/x * ln (1+x) = 1

lim quand x -> 0 (x+2)/x * ln (1 + (x / (x+2) ) ) =1

Merci de m'aider pour les justifications (et même pour les réponses si celles-ci sont inexactes).

En vous souhaitant une bonne soirée !

par **Ericovitchi** » 30 Déc 2009, 18:42

oui pour trouver la limite de ln(x) / (x-1) il est plus pratique de poser u=x-1 et de cherche la limite de ln (1+u) / u quand u tends vers zéro.

(Et pour trouver cette limite, penses à la définition de la dérivée en zéro)

par **Costorm** » 30 Déc 2009, 20:12

Merci beaucoup.

Pour les limites suivantes, j'imagine qu'il faut également opérer un changement de variable ?
J'ai néanmoins du mal à voir laquelle choisir et également savoir vers quoi elle tend...

par **Le_chat** » 30 Déc 2009, 20:18

La première limite, la 2e et la 3e sont a un changement de variable près.
La limite "classique" à calculer est la 2nde, avec une petite astuce c'est simple.

par **Costorm** » 30 Déc 2009, 20:30

Pour la 2nde limite, est-ce suffisant de simplifier en ( ln (1+x) ) / x et donc cette limite est égale à zéro ?
Ainsi, pas besoin de changement de variable...

Pour la troisième par contre, je ne vois pas comment procéder...

par **Le_chat** » 30 Déc 2009, 20:53

Non justement le truc c'est que ln(1+x)/x est de la forme 0/0 en 0 (ln(1)=0).
Alors il ya deux manières: soit tu prouves que x-x^2/2Pour la 3e: pose X=x/(2+x)

par **Costorm** » 30 Déc 2009, 21:10

J'ai compris pour la troisième limite est suis donc parvenu à la justification, par contre je ne vois pas pourquoi il faut prouver que x-x^2/2Je pense pouvoir arriver à le démontrer, néanmoins je ne vois pas à quoi cela servirait pour prouver le résultat de la limite ?

Merci

par **Le_chat** » 30 Déc 2009, 21:24

Regarde ce qu'il se passe en divisant par x et en invoquant le théorème des gendarmes pour ta limite :id:

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