Equation de cercles

par **Kcb** » 27 Déc 2009, 19:34

Bonsoir, je planche sur la question c) de l'enoncé suivant:
2) On considere l'equation de parametre reel m : x^2+y^2-2mx-2my+4(m-1)
a) Demontrer que tout réel m, (E) est l'equation d'un cercle (Cm) dont on precisera les elements caracteristiques
b) Tracer C0, C1, C2
c) Prouvez que tous réels m, les cercles (Cm) passent par deux points fixes A et B que l'on precisera

Par le tracé jai pu determiner les points de coordonnées (0,2) et (2,0) cependant je n'arrive pas a le dem0ntrer, pouvez vous me mettre sur la bonne voie?

par **XENSECP** » 27 Déc 2009, 19:40

Hum tu pourrais essayer de factoriser l'équation de façon canonique :

par **Ericovitchi** » 27 Déc 2009, 22:44

Pour prouver que tous les cercles d'équations x^2+y^2-2mx-2my+4(m-1) = 0 passent par des points fixes, il faut qu'à la fois le coef de m et le reste soit nul donc
x²+y²-4=0 et -2x+2y+4=0

par **Kcb** » 28 Déc 2009, 06:20

Pour la forme canonique Je crois déjà avoir obtenu une forme semblable a la question a)
Et Ericovitchi ta méthode marche très bien mais pourrais tu donner plus d'explications comment arrive-tu a la forme -2x+2y+4=0 ?
Pour x²+y²-4=0 tu as pris m nul c'est bien ça ?

par **Noemi** » 28 Déc 2009, 09:54

Bonjour,

Le coefficient de m nul donne l'équation -2x - 2y + 4 = 0.

par **Kcb** » 28 Déc 2009, 11:16

Vous pouvez me montrer par le calcul ? J'arrive toujours pas a comprendre

par **XENSECP** » 28 Déc 2009, 11:42

Ericovitchi a écrit:Pour prouver que tous les cercles d'équations x^2+y^2-2mx-2my+4(m-1) = 0 passent par des points fixes, il faut qu'à la fois le coef de m et le reste soit nul donc
x²+y²-4=0 et -2x+2y+4=0

Effectivement... ça me paraît mieux ^^

En gros tu as l'intersection d'une droite avec un cercle donc au plus 2 points.

par **Kcb** » 28 Déc 2009, 13:29

Par contre c'est toujours pas assez clair pour moi :(

par **Ericovitchi** » 28 Déc 2009, 13:45

Tu es devant une famille de cercles
x²+y²-2mx-2my+4(m-1)=0
Si cette famille a des points en communs, les coordonnées de ces points doivent satisfaire toutes les équations en même temps.
L'équation qui s'écrit : x²+y²-4 - 2m (x+y-2) = 0 doit être vraie pour tout m. Pour que cela soit possible il faut qu'à la fois ce qui est indépendant de m : x²+y²-4=0 et ce qui est en facteur de m : x+y-2=0 soit nul
C'est un peu comme quand on dit que 2 polynômes sont égaux pour tout x, on en déduis que leurs coef respectifs de chaque puissance de x sont égaux.

par **Kcb** » 28 Déc 2009, 14:21

Ericovitchi a écrit:Tu es devant une famille de cercles
x²+y²-2mx-2my+4(m-1)=0
Si cette famille a des points en communs, les coordonnées de ces points doivent satisfaire toutes les équations en même temps.
L'équation qui s'écrit : x²+y²-4 - 2m (x+y-2) = 0 doit être vraie pour tout m. Pour que cela soit possible il faut qu'à la fois ce qui est indépendant de m : x²+y²-4=0 et ce qui est en facteur de m : x+y-2=0 soit nul
C'est un peu comme quand on dit que 2 polynômes sont égaux pour tout x, on en déduis que leurs coef respectifs de chaque puissance de x sont égaux.

Apres ça je resous le systeme?
x^2+y^2-4
x+y-2

par **Ericovitchi** » 28 Déc 2009, 14:23

Le système (il faut mettre des = 0 pour que ça soit un système) :
x²+y²-4 = 0
x+y-2=0

oui

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