Exercice nombres complexes

par **zaze_le_gaz** » 22 Déc 2009, 00:03

tu as du mal recopié l'enoncé. ca manque d'une egalité

par **xavier71** » 22 Déc 2009, 11:36

Oups ! Désolé, module(z1)+ module(z2) <= [inférieur ou égal] module(z1-z2)+ module(z1+z2)

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2009, 11:45

Re
Comme les nombres à gauche et à droite de l'inégalité sont positifs, tu peux essayer de montrer l'inégalité sur leur carré

par **xavier71** » 22 Déc 2009, 11:57

Merci !
Ah oui, donc |z1|² + |z2|² <= |z1-z2|² + |z1+z2|²
Mais ca nous avance a quoi ?

par **Ben314** » 22 Déc 2009, 12:11

xavier71 a écrit:Merci !
Ah oui, donc |z1|² + |z2|² <= |z1-z2|² + |z1+z2|²
Mais ca nous avance a quoi ?

Ben... non :
Si tu élève au carré la relation que l'on te demande de montrer, tu obtient
(|z1| + |z2|)² <= (|z1-z2| + |z1+z2|)²

Et, d'avoir des carrés, ça sert a simplifier, car si z=x+iy, alors on a
|z|=racine(x²+y²) donc |z|²=x²+y² est 'plus simple'

par **xavier71** » 22 Déc 2009, 12:35

[quote="Ben314"]Ben... non :
Si tu élève au carré la relation que l'on te demande de montrer, tu obtient
(|z1| + |z2|)² (racine(x1²+y1²) + racine(x2²+y2²))² (x1²+y1²)+(2(x1²+y1²)(x2²+y2²))+(x2²+y2²) <=
mais ca complique les choses, car la on va avoir un double produit. Je ne comprends plus rien ! Et à gauche, on peut rien faire ?

par **Ben314** » 22 Déc 2009, 12:57

Dans des cas comme le tient, au départ, on a 4 racines carrées (les 4 modules) et on éléève au carré (en prenant garde que les quantitées sont positives) pour diminuer le nombre de racines.
Par exemple ici, en élevant une première fois au carré, on n'a plus que deux racines.
On pourrait mettre les deux racines d'un coté et le reste de l'autre puis, aprés avoir vérifié que tout est positif, élever une nouvelle fois au carré -> plus qu'une racine.
Ici, ce n'est pas indispensable : garde les 'doubles produits' tels quels et simplifie le reste.
Tu devrais arriver à montrer que l'inégalité est vrai sans autre 'élévation au carré'.

Indic : Pour tout réels a et b, on a toujours 2ab=0...

par **xavier71** » 22 Déc 2009, 13:14

Donc on a
(x1²+y1²) + (2 racine(x1²+y1²) racine(x2²+y2²)) + (x2²+y2²) <= |z1-z2|² + 2(|z1-z2|)(|z1+z2|) + |z1+z2|²
C'est bien ça ?
Mais je vois pas comment simplifier |z1-z2|² et |z1+z2|²

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2009, 13:48

Tu n'es pas obligé de passer par les coordonnées
Tu peux utiliser

et développer

par **xavier71** » 22 Déc 2009, 13:49

Merci !
Et après je développe à droite ?

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2009, 13:54

Oui tu développes
Ça se simplifie

par **Ben314** » 22 Déc 2009, 14:07

Je voulais faire deux remarques avant de vous laisser.
1) (pour sa majesté) je préférais qu'il utilise les x et y plutôt que les conjugué car j'avais peur des problèmes concernant les relations d'ordre sur C : si on développe

il apparait des nombres non réels (qui vont immédiatement se simplifier, je te l'accorde)
2) Si vous voulez une autre façon de faire la preuve, on peut partir de

dont une preuve purement géométrique résulte de la formule de Al-Kashi.

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2009, 16:00

Ben314 a écrit:Je voulais faire deux remarques avant de vous laisser.

Tu peux rester, plus on est de fous et plus on rit :zen:

Ben314 a écrit:1) (pour sa majesté) je préférais qu'il utilise les x et y plutôt que les conjugué car j'avais peur des problèmes concernant les relations d'ordre sur C : si on développe il apparait des nombres non réels (qui vont immédiatement se simplifier, je te l'accorde)

Tu as raison, ce n'était sans doute pas très judicieux de ma part

par **xavier71** » 22 Déc 2009, 16:36

Donc du coup je fais comment ? Je ne comprends plus grand chose !!

par **Sa Majesté** » 22 Déc 2009, 19:27

xavier71 a écrit:Donc du coup je fais comment ? Je ne comprends plus grand chose !!

Tu réfléchis :zen:
Tu continues avec les parties réelles et imaginaires
N'oublie pas que z1-z2 = (x1-x2) + i(y1-y2)

par **xavier71** » 22 Déc 2009, 21:56

(|z1| + |z2|)² <= (|z1-z2| + |z1+z2|)²
<=> |z1|² + 2*|z1|*|z2| + |z2|² <= |z1-z2|² + 2*|z1-z2|*|z1+z2| + |z1+z2|²
<=> x1² + y1² + 2*|z1|*|z2| + x2² + y2² <= |(x1-x2) + i(y1-y2)|² + 2*|(x1-x2) + i(y1-y2)|*|(x1+x2) + i(y1+y2)| + |(x1+x2) + i(y1+y2)|²

C'est ça le début ?
Mais je vois pas comment on peut aboutir !! :doh: :help:

par **Sa Majesté** » 23 Déc 2009, 14:24

Pourquoi est-ce que tu ne continues pas ?
|(x1-x2) + i(y1-y2)|² = (x1-x2)² + (y1-y2)²
etc ...

par **xavier71** » 23 Déc 2009, 16:54

Oui mais après je développe tout ?

par **Ben314** » 23 Déc 2009, 17:10

Oui, sauf évidement les trucs sous les racines où ça sert à rien de les développer vu qu'on sait pas qou faire de

.

par **xavier71** » 23 Déc 2009, 17:27

Ok, merci ! Mais à la fin, j'aboutis à quelque chose au moins ? :ptdr:

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