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par **lapras** » 22 Déc 2009, 21:30

Bonsoir,
voici un exo sympa (oral Centrale) que je vous propose :
Soit

continue et strictement positive.
a)Montrer qu'il existe

telle que

b)Déterminer

Bonne chance,
Lapras :we:

par **dudumath** » 22 Déc 2009, 22:10

On montre qu'il existe x1,

la fonction

est continue et vérifie L(a)0, en vertu du TVI x1 existe

Ensuite par récurrence, si on a trouvé (n-1) nombres vérifiant la propriété,
on pose

qui vérifie

on obtient

par **lapras** » 22 Déc 2009, 22:12

Ok. Maintenant la partie vraiment intéressante, le b) ;)

par **dudumath** » 22 Déc 2009, 22:16

Pour la 2, il me semble qu'en passant par les sommes de Riemann on doit y arriver, on a une subdivision sigma tel que le pas tende vers 0 quand n tend vers l'infini, donc je crois que la somme converge vers l'intégrale de a à b de f (de mémoire des cours de l'année dernière, sans aucune assurance^^)

par **dudumath** » 22 Déc 2009, 22:36

Bon je me lance:

f est uniformément continue donc

En choisissant une subdivision de pas plus petit que eta
En notant S la somme

par **Ben314** » 22 Déc 2009, 23:50

Salut,

dudumath a écrit:... on a une subdivision sigma tel que le pas tende vers 0...

je pense que ça risque d'ètre faux en général, par exemple si f est nulle sur tout un intervalle [c,d] contenu dans [a,b] il est possible qu'aucun de x_? ne soit dans [c,d]...
(par contre j'ai pas la preuve du résultat...)

P.S. J'ai d'ailleur l'impression à froid que c'est LA difficulté : les 'endroits' où f est nulle comptent pour du beure, mais il font c.. dans la preuve...

par **Ben314** » 22 Déc 2009, 23:55

Je viens d'effacer un post où j'avais dit une c... du fait que j'avais mal lu l'énoncé (on suppose f>0 et comme l'intervalle est fermé borné, cela implique que f>cst>0 et montre que le pas des subdivisions tend vers 0...)

Mais cela m'ammène à la question suivante : le résultat du b) reste t'il vrai si on suppose seulement f positive (au sens large) ?

par **alainh** » 23 Déc 2009, 00:46

Bonjour , j 'ai un probleme pour un devoir sur les probabilités

j 'ai un rapport de 1 chance sur 13 d 'avoir une boule qui sort ds ma selection

combien de chances j 'aurai si je joue cette meme boule pendant six tirages de maniere consecutives ou si j 'ai bien compris mon prof ça veut dire la meme chose combien j 'aurai de chances au sixieme tirages idem pour le 12 etc....

ensuite il rajoute un probleme

idem mais en faisant partir plusieurs boules qui ont tjrs un rapport de 1 chance sur 13 par exemple 3 boules si je les joue en meme temps combien de chance j 'aurai d'en avoir au moins 1 sur 3 au 6 tirages 2 sur 3 ou 3 sur 3 au 6° tirages

pareil si on le fait avec 10 boules 15 boules etc

je n 'y comprends rien merci ça serait sympa si quelqu 'un voudrait prendre un epetit peu de son temps pour m 'aider

par **Ben314** » 23 Déc 2009, 01:02

Bon, alainh, ça serait quand même mieux que tu mette un seul post.... mais au bon endroit.... (j'ai mis un bout d'explication dans "topologie faible")

par **lapras** » 23 Déc 2009, 11:09

Bonjour,
la réponse de la b) n'est pas intégrale de f de a à b.
En effet pour vous en persuader plus f est grande plus le pas devient petit mais le 1/n est un pas constant donc les grandes valeurs de f sont favorisées.

par **miikou** » 23 Déc 2009, 11:18

salut,

f est strictement positive sur un compact donc en particulier
pour tout xk on a :

donc ta serie est croissante et convergence car majorée par max f sur [a,b] je dirais que la limite est la moyenne de f sur [a,b] nan ?

par **dudumath** » 23 Déc 2009, 11:20

J'ai en effet ommis le 1/n dans ma démonstration :hum:

par **Nightmare** » 23 Déc 2009, 11:56

Salut :happy3:

1) f est un homéomorphisme de [a,b] sur [0,int(f)] (intégrale de f sur [a,b])

Si j'appelle F la primitive de f qui s'annule en a, l'équation

admet une unique solution sur ]a,b[ ce qui prouve ce qu'on veut (c'est ce qui a déjà été prouvé plus haut)

2) En fait, on a tout simplement

Du coup la somme

est de Riemann (au facteur int(f) près) et converge vers

Notre somme converge donc vers ce truc là divisé par int(f).

par **lapras** » 23 Déc 2009, 12:19

Oui c'est le bon résultat : le barycentre de f pondéré par f.
Juste : comment justifies-tu la derniere égalité ?

par **Nightmare** » 23 Déc 2009, 12:23

Changement de variable x=F(t) tout simplement.

par **Nightmare** » 23 Déc 2009, 12:28

On remarque qu'on peut remplacer "strictement positive" par "positive sauf sur un ensemble d'intérieur vide".

par **dudumath** » 23 Déc 2009, 13:12

joli!!!!! :id:

par **Ben314** » 23 Déc 2009, 13:24

Nightmare a écrit:On remarque qu'on peut remplacer "strictement positive" par "positive sauf sur un ensemble d'intérieur vide".

Tu pense que c'est faux si Z(f) n'est pas d'intérieur vide ?
Perso, j'ai l'impression que la preuve ne marche pas mais que le résultat est tout de même vrai.....

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