Matrices orthogonales

[HanZel]

Bonjour à tous,

Je cherche à montrer que l'ensemble des matrices orthogonales est une sous variété de
Je pose ainsi,
Je différentie :
et on a :


J'aimerai bien que soit surjective ! :happy2:

Je ne sais pas comment m'y prendre...

je n'arrive pas à le résoudre...

Je me pose quelques questions :

Est ce que ? => Endomorphisme? => Si Ker df(M) = 0 alors df(M) surjective?

Je pensais utiliser le théorème du rang mais je ne connais pas la dimension du noyau..

Pouvez vous m'aider un peu.

Merci !

[Ben314]

Salut.
Ta méthode est bonne modulo deux remarques :
1) Il faut non seulement écrire que f(M)=0 pour tout M dans O_n(R), mais évidement écrire que c'est une équivalence.
2) Il faut effectivement montrer que df est surjective, mais surement pas avec M_n(R) comme ensemble d'arrivé car si c'était vrai cela montrerais que O_n(R) est une variété de dimension... 0 !!!
Regarde un peu mieux la fonction f et tu devrait voir que l'on peut prendre un ensemble d'arrivé "plus petit"...

De plus, tu doit étudier l'éventuelle surjectivité de df uniquement en des "points" M de O_n(R)...

[HanZel]

L'ensemble d'arrivé de f est l'ensemble des matrices symétriques Sym(n,R).
Alors ?

[Ben314]

Oui, c'est nettement mieux....

[Ben314]

Pour , je peux te filler un "petit coup de pouce":
est...

[HanZel]

dim Sym(n,R)= n(n+1)/2 si j'ai la dimension de Ker(df(M)) je pourrais trouver la dim de Im(df(M)) avec dim Ker(df(M)) + dim Im(df(M)) = dim Sym(n,R).

Et si dim Im(df(M)) = dim Sym(n,R) alors df(M) est surjective si j'ai bien compris ?

[Ben314]

dim Sym(n,R)= n(n+1)/2 si j'ai la dimension de Ker(df(M)) je pourrais trouver la dim de Im(df(M)) avec dim Ker(df(M)) + dim Im(df(M)) = dim Sym(n,R).

Et si dim Im(df(M)) = dim Sym(n,R) alors df(M) est surjective si j'ai bien compris ?

C'est exactement le principe, (sauf que dim(ker)+dim(im) n'est pas égal à dim(espace d'arrivé) mais à...)
As tu trouve ker(df) (et donc sa dimension) ?

[HanZel]

Oh oui, dim(im)+dim(ker)=dim(depart) !

Pour Ker(df(M)) je n'ai pas trouvé... :triste:

[Ben314]

est antisymétrique est de la forme...

[HanZel]

Je ne sais pas si c'est ça mais en tatonant un peu je dirais H est de la forme Identité + Antisymétrique?

[Ben314]

où est antisymétrique où est antisymétrique (si M inversible)
L'application étant linéaire bijective, la dimension de est la même que celle de...

[HanZel]

J'ai compris mais ça ne me serait pas venu naturellement..

Alors on a : dim = dim Antisym(n,R) grace à la bijectivité de

dim = n(n-1)/2

Donc dim Im(n,R)= n²-n(n-1)/2 = n(n+1)/2 = dim Sym(n,R)

Ainsi df(M) est surjective, donc On(R) est une sous variété de Mn(R)

Et la dimension de l'espace tangent en tout en tout point de On(R) est n(n-1)/2

[Ben314]

Impeccable.
Pour le coté "ça ne me serait pas venu naturellement", tu peut commencer par évaluer pour M=Id et cela peut donner des idées du cas général.

Une façon plus théorique de voir que le cas M=Id est équivalent au cas général est d'utiliser le fait que O_n(R) est non seulement un espace topologique mais aussi un groupe et de montrer que l'espace tangent en un point M quelconque peut s'obtenir à partir de l'espace tangent en Id...

[HanZel]

Je vais retenir tes conseils pour les partiels ;)

Merci pour ton aide !