Homomorphisme d'annaeux

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
Soit un corps et un anneau.
Soit : un homomorphisme d'anneaux avec . il s'agit bien d'un morphisme d'anneaux, mais non unitaire d'après un prof. d'algèbre ! mais, je n'ai pas compris la suite, c'est à dire quant est un homomorphisme d'anneaux non unitaire et non injectif , avec un corps ! Est ce que est un corps dans ( i.e : si est un homomorphisme d'anneaux non unitaire, mais injectif, alors, est un corps dans , mais n'est pas un sous corps de car ne coincide pas avec l'élément neutre de ) Mais, le problème est quant avec ces conditions, mais non injectif, , Est ce que garde sa structure de corps dans ? si la réponse est négative, quelle est donc, la structure de dans ?
Merci d'avance ! :happy3:

[Ben314]

Si tu ne demande pas aux morphisme d'être unitaire alors l'application
x->0 devient un morphisme et dans ce cas...

Rappel, dans un corps, on demande que 0 et 1 soient distincts

[barbu23]

Si tu ne demande pas aux morphisme d'être unitaire alors l'application
x->0 devient un morphisme et dans ce cas...

Oui, mais je ne vois pas pourquoi c'est un morphisme nul ! :happy3:

[barbu23]

non un morphisme non unitaire signifie que ! :happy3:

[barbu23]

est un idéal du corps qui est soit , soit , et puisque est non injectif , , après qu'est ce qu'on fait ? :happy3:

[barbu23]

svp un coup de main

[Ben314]

On se rappelle quoi c'est la définition de et on conclue...

[barbu23]

Je ne vois structement rien ! je ne sais pas ! je suis complètement perdu ! :triste:

[barbu23]

Ah oui, ça veut dire que si , alors : et donc ! mais on s'est dit que est non injective, ce qui veut dire que et

[Ben314]

est un idéal du corps qui est soit , soit , et puisque est non injectif , , après qu'est ce qu'on fait ? :happy3:

Aprés, on dit que, par définition du noyeau, cela signifie que est la fonction identiquement nulle et donc que son image est qui n'est pas un corps.

[barbu23]

Et en fonction de Quoi vont - ils s'exprimer donc, les éléments de la - algèbre dans ce cas ?
Merci d'avance ! :happy3:

[Ben314]

Je ne comprend pas trop le sens de la question :
Parler de K-algèbre sur un corps : O.K. (encore que les définitions peuvent différer d'un auteur à l'autre)
Parler de A-algèbre sur un anneau A commutatif unitaire : toujours O.K. (un peu moins fréquent que sur un corps mais surement utile)
Par contre parler de A-algèbre quand l'anneau A est ou bien quand pour tout , je vois vraiment pas l'intérêt que ça peut avoir (et c'est le cas ici)

[barbu23]

Oui, je comprends ce que tu veux dire, mais c'est quoi la nature de la - algèbre : dans ce cas même si . n'est pas necessairement reduit à l'element neutre ! donc, c'est quoi sa nature et comment s'exprime ses elements ? :happy3:

[Ben314]

Résumons nous :

A est absoluement quelconque.
B est absoluement quelconque.
est la fonction de A dans B qui, à tout élément de A associe 0 dans B.

Arrivé à ce point, tu me demande "la nature de B", bon, ben je répond... "quelconque" (donc pas forcément du tout réduit à {0}, à moins que tu ne précise que est surjective)

Tu me demande "comment s'expriment les éléments de B",
ben... je répondrait que tout b dans B s'écrit b=b (on ne risque pas d'exprimer b à l'aide d'éléments de A vu que la seule fonction connue de A dans B est totalement inutile !!!)