Exercice nombres complexes

par **zack** » 13 Déc 2009, 20:53

Bonsoir, c'est encore moi :)!

J'ai un exercice auquel je ne trouve pas de solution et j'aimerais bien avoir votre aide....

Soit z et z' deux nombres complexes d'images respectives M et M'. On sait que:

z' = [(1-i)(z-i)] / (z-1)

1) On pose z= x + iy . Déterminer la partie réelle et imaginaire de z' en fonction de x et y ---> Je n'arrive pas à simplifier assez cette expression pour pouvoir le faire... Quelqu'un pourrait me montrer une simplification :/

2) Déterminer l'ensemble des points M(z) tels que Re(z') = 0

3) Déterminer l'ensembles des points M(z) tels que Im(z') = 0.

Là je suis vraiment bloqué, déjà je n'arrive pas la première question... Donc toute aide serait le bienvenue :)!

En vous remerciant d'avance,
Zack.

par **Sa Majesté** » 13 Déc 2009, 21:08

Tu n'arrives pas à simplifier mais à quoi aboutis-tu ?

par **zack** » 13 Déc 2009, 21:50

Sincèrement j'obtiens un truc trop compliqué pour en faire quoique ce soit...
Une piste s'il-vous-plait? :hum:

par **zack** » 13 Déc 2009, 22:23

Personne n'aurait d'idées? :)

J'ai fortement besoin d'aide, mon professeur note les exercices en début d'heure et si je suis interrogé je suis mal...

par **Ericovitchi** » 13 Déc 2009, 22:29

Il faut calculer bestialement

Après tu multiplies par la quantité conjuguée du dénominateur pour éliminer les i du dénominateur

par **zack** » 13 Déc 2009, 22:43

Oulala je te remercie mais quand je multiplie par la forme conjugué ça me donne un calcul monstre ://// Je m'en sors plus...

Je suis désolé de faire le gros assisté mais mon cahier ne tient même pas toute la ligne de calcul au numérateur...

Une petite astuce? :/

par **Sa Majesté** » 14 Déc 2009, 19:57

Désolé, pas d'astuce !
Il faut retrousser ses manches et y aller
C'est formateur ... :zen:

par **xavier71** » 21 Déc 2009, 17:07

Bonsoir !! Alors, j'ai le même exercice et j'ai fais les questions 1 et 2 sans problèmes (Après un calcul assez long tout de même ^^) Et je suis bloqué au 3. avec mon équation de z' étant z'= [ (x-1)²+(y-1/2)²-1/4 - i ( x²+y²+1) ] / [ (x-1)² + y² ]
Pour la question 2, j'ai reconnu une équation de cercle 'ou les solutions appartenant au cercle de centre (1 ; 1/2) et de rayon 1/2, exclu le point (1 ; 0)
Mais pour la 3, je ne sais pas comment résoudre...
Merci d'acance

par **Ericovitchi** » 21 Déc 2009, 17:13

partie imaginaire = 0 donc x²+y²+1 = 0 ce qui n'est jamais possible puisque x²+y² qui est toujours positif ou nul ne peut être égal à -1

par **xavier71** » 21 Déc 2009, 17:20

Ok, et pour la 2, c'est bien ça ?
Et pour la 3, ca veut dire qu'il n'existe aucun point M verifiant Im(z')=0 ?

par **Sa Majesté** » 21 Déc 2009, 19:52

xavier71 a écrit:Bonsoir !! Alors, j'ai le même exercice et j'ai fais les questions 1 et 2 sans problèmes (Après un calcul assez long tout de même ^^) Et je suis bloqué au 3. avec mon équation de z' étant z'= [ (x-1)²+(y-1/2)²-1/4 - i ( x²+y²+1) ] / [ (x-1)² + y² ]

Salut
Ton calcul "assez long" est hélas faux, aussi bien pour la partie réelle que pour la partie imaginaire
Tu vois d'ailleurs que pour z=i, z'=0, qui a une partie imaginaire nulle. Donc l'ensemble des points M(z) tels que Im(z') = 0 ne peut pas être vide

par **xavier71** » 21 Déc 2009, 20:29

Je me suis trompé !! Dans la 3, je trouve z'= [ (x-1)²+(y-1)²-1 - i ( x²+y²-, et non pas +1) ] / [ (x-1)² + y² ] !! Ca change tout ? Du coup ca fait bien x²+y²-1=0 x²+y²=1 ? D'ou les solutions appartenant au cercle de centre (0 ; 0) de rayon 1 ?? C'est ca ?

par **Sa Majesté** » 21 Déc 2009, 20:34

Oui ça c'est bon
Par contre la partie réelle est toujours fausse

par **xavier71** » 21 Déc 2009, 20:35

Sa Majesté a écrit:Oui ça c'est bon
Par contre la partie réelle est toujours fausse

J'ai changé la partie réelle, c'est bon ?

par **Sa Majesté** » 21 Déc 2009, 20:38

Oui c'est bon

par **xavier71** » 21 Déc 2009, 20:40

Donc pour la 2, j'ai un cercle de centre (1;1) et de rayon 1, et pour le 3, un cerlce de centre (0;0) et de rayon 1, en sachant que pour les deux on exclue le point (1;0) car (x-1)²+y²=0 <=> x=1 et y=0
Tout est bon ?

par **Sa Majesté** » 21 Déc 2009, 20:50

Oui tout est bon
Plus simplement que "(x-1)²+y²=0 <=> x=1 et y=0" tu peux dire que, par définition de z', z doit être différent de 1

Tu peux vérifier en prenant l'intersection de ces 2 cercles (celle qui n'est pas interdite). Tu dois trouver un nb complexe dont l'image z' a à la fois une partie réelle et une partie imaginaire nulle, c'est-à-dire 0

Tu peux aussi prolonger l'exo en prenant un nb complexe sur le cercle de centre 0 et de rayon 1 (je mélange gentiment les nb complexes et les points du plan complexe). Si tu as déjà vu ça en cours, tu sais qu'il peut s'écrire z=e^(ia). Tu calcules z' et tu montres que z' est réel quel que soit a.

par **xavier71** » 21 Déc 2009, 20:53

Ok, franchement, merci énormément !!! Ca m'a bien aidé !

par **Sa Majesté** » 21 Déc 2009, 21:10

De rien
Bonne continuation et bonnes vacances avant tout ! :++:

par **xavier71** » 21 Déc 2009, 22:58

Re, c'est encore moi !! J'ai un petit problème, il faut montrer que quels que soient les complexes z1 et z2, on a :

module(z1)+ module(z2) module(z1-z2)+ module(z1+z2)

J'ai essayé de raisonner à partir des formes algébrques et de la formule du module d'un nombre mais je n'aboutis à rien.
Vous avez une idée ?

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