Commutativité des groupes d'ordre 1089

par **kingsize** » 13 Déc 2009, 15:57

Bonjour, voici un exo d'algèbre sur lequel je bloque:

-Montrer que les groupes de cardinal 1089 sont commutatifs et les décrire à isomorphisme près.

Je précise que les théorèmes de Sylow sont connus.
La deuxième partie de l'exo est une question de cours. Par contre, je sèche complètement sur la première. J'ai essayé de faire des choses sur la décomposition 1089=3² x 11², et en essayant d'appliquer les théo de Sylow mais cela ne m'a mené nulle part.

par **Nightmare** » 13 Déc 2009, 16:13

Salut !

Surement faut-il montrer que G est isomorphe à

et ces deux là sont commutatifs (ce sont des p²-groupes).

par **kingsize** » 13 Déc 2009, 16:31

c'est faux dans le cas général, prendre par exemple G=Z/1089Z

par **Nightmare** » 13 Déc 2009, 16:34

Globalement, on va montrer que G est isomorphe au au produit semi-direct de ces deux p²-groupes et que ce produit est en fait direct. Le premier point se fait avec un théorème de Sylow qui assure l'existence d'un 11²-groupe, distingué. Regarde ce qu'on peut faire avec ce dernier.

par **Nightmare** » 13 Déc 2009, 16:35

kingsize a écrit:c'est faux dans le cas général, prendre par exemple G=Z/1089Z

Hum, oui effectivement, en fait on a des actions non triviales donc le produit n'est pas forcément direct.

par **Ben314** » 13 Déc 2009, 16:42

J'ai la flemme de faire les calculs (que vous avez déjà fait)
Vous trouvez quoi pour les 3-sylow et les 11-sylow ?

par **kingsize** » 13 Déc 2009, 17:15

Nightmare a écrit:Globalement, on va montrer que G est isomorphe au au produit semi-direct de ces deux p²-groupes et que ce produit est en fait direct. Le premier point se fait avec un théorème de Sylow qui assure l'existence d'un 11²-groupe, distingué. Regarde ce qu'on peut faire avec ce dernier.

Soit H un sous-groupe distingué d'ordre 11². On peut alors considérer le groupe quotient G/H.
Le théorème de Sylow donne aussi l'existence d'un 3²-sous-groupe, noté K Mais comment montrer que K distingué, i.e unique ? Car d'après Sylow, le nombre de conjugués de K (i.e de 3-groupe de G) est congru à 1 modulo 3 et divise 11². On voit que ce nombre peut être 121.
Si K est distingué, alors G est clairement isomorphe à (G/H)x(G/K), donc commutatif.

par **Ben314** » 13 Déc 2009, 18:06

Salut,
J'ai peut être une piste...
Dans le produit semi direct, on doit avoir un morphisme de K=G/H (commutatif d'ordre 3²) dans Aut(H) (où H commutatif d'ordre 11²)
Quel structure peut avoir le groupe Aut(H) ?
Que peut on en déduire ?

par **yos** » 13 Déc 2009, 18:09

kingsize a écrit:c'est faux dans le cas général, prendre par exemple G=Z/1089Z

Que veux-tu dire? Qu'il est pas isomorphe à Z/9Z X Z/121Z ?? Pourtant 9 et 121 sont premiers entre eux.

Par contre (Z/33Z)² je dis pas.

par **Ben314** » 13 Déc 2009, 18:11

Si je me suis pas gourré, si H = Z/11Z x Z/11Z alors Aut(H) est isomorphe à GL2(Z/11Z) dont le cardinal est 10x10x11x12 et là ça coince car il y a des éléments d'ordre 3...

[Par contre, si H=Z/11²Z alors Aut(H) a un cardinal de 10x11 et aucun élément d'ordre 3 donc le produit est forcément direct.]

Pour le moment, j'en déduit que... le résultat est faux (ou que je m'est gourré) : j'essaye d'expliciter un exemple...

par **Ben314** » 13 Déc 2009, 18:33

Comment trouver sans trop rammer une matrice de GL2(Z/11Z) d'ordre 3 ? (le déterminant doit être 1 et...)

Si, j'suis con : POLYNÔME CARACTERISTIQUE !!!!

par **Ben314** » 13 Déc 2009, 18:40

Conclusion : j'arrive à construire un morphisme non trivial de Z/3ZxZ/3Z dans Aut(Z/11ZxZ/11Z) donc un groupe d'ordre 11x11x3x3 non commutatif...

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