Congruences

[merayone]

Bonsoir !

Je me permet de solliciter votre aide pour un exercice sur lequel je bloque depuis le début de la soirée... :

Prouver que si a^3 + b^3 + c^3 est divisible par 7, alors abc est divisible par 7. Je suis partie du principe que a^3 + b^3 + c^3 est divisible par 7 <=> a^3 + b^3 + c^3 congru à 0 [7], mais après plus rien...!

Merci d'avance,

merayone

[Doraki]

Que peuvent valoir a^3, b^3, et c^3 modulo 7 ?

[merayone]

Et bien, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

[merayone]

Mais ça me paraît faire beaucoup de cas à étudier, non ... ? :doh:

[Pafapafadidel]

Faux. a^3 mod 7 ne peut pas valoir 2 par exemple.

[merayone]

Ah... Et pourquoi donc ?! =S

[merayone]

Si je comprends bien, 7k + 2 (k€Z) n'est jamais égal à un cube ?!

[Pafapafadidel]

Prends tous les nombres modulo 7 un part un, et éleve les au cube. Tu verras que tu n'obtiendras jamais 2.

[merayone]

Mea Culpa,
Les restes possibles sont 0, -1 et 1 !
Donc soit a^3 = 0 [7], b^3 = 0 [7] et c^3 = 0 [7],
soit a^3 = 0 [7], b^3 = -1 [7] et c^3 = 0 [7].
Mais après, comment obtenir abc [7] ??

[Pafapafadidel]

En regardant tous les cas possibles pour que a^3+b^3+c^3 soit égal a 0 modulo 7

Edit: ce que tu as déja fait en fait (avec une erreur d'inattention). Tu devrais en déduire facilement la réponse en réfléchissant un peu (condition nécessaire et suffisante pour que abc=0 mod 7?)

[merayone]

C'est à dire ?
Auriez-vous une solution plus détaillée s'il vous plait ?

[alavacommejetepousse]

bonsoir

quelles possibilités y a t il pour que la somme de trois nombres qui valent 0 ou 1 ou -1 fasse 0 (modulo 7 ) ?

[merayone]

Mais en fait... Seul 0^3 est congru à 0 [7], donc on a forcément a=0 ou b=0 ou c=0, donc abc = 0 [7] ?

[alavacommejetepousse]

oui soit ils sont tous nuls soient un est nul un vaut 1 le dernier -1

dans tous les cas a ou b ou c est congru à 0 mod 7

[merayone]

C'est fou comme ça paraît simple lorsqu'on arrive au résultat... :we:
Merci beaucoup pour votre aide ! Bonne soirée, merayone