Ce problème me fait penser à celui des combinaisons avec répétitions, sur lequel j'avais déjà posté à mes débuts sur le forum (la flemme de retrouver le fil).
En fait, tout dépend si les objets sont les mêmes ou pas. Vu qu'il n'est pas précisé que les objets sont indiscernables, ça complique les choses. Voici une petite démonstration dans le cas où les objets sont indiscernables, puis une tentative de se ramener au cas où ils sont discernables :
Cherchons d'abord le nombre de façons de répartir m objets parmi n personnes en autorisant les cas où il y a des personnes qui n'ont aucun objet. Il suffira ensuite de lui retrancher le nombre de façons de répartir m objets parmi n-1 personnes, puisque tous les cas où au moins une personne parmi les n n'a pas eu d'objet sont décrits par la répartition de m objets parmi n-1 personnes. Jusque là tu me suis?
Bon, maintenant on va donc chercher à calculer le nombre de façons de répartir m objets parmi n personnes, le nombre d'objets de chaque personne étant compris entre 0 et m.
Imagine que les O ci-dessous représentent les objets :
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
Les répartir entre les n personnes revient à mettre des séparateurs (que l'on écrira "/") entre chaque objet, par exemple :
OOOO/OOO/OOOOOOOOO/OOOO
S'il y a n personnes, il y a n-1 séparateurs.
Et une façon de répartir les objets est entièrement déterminée par la position de ces séparateurs. Combien y a-t-il de positions possibles pour chaque séparateur? Il y en a m+n-1. En effet, on a m objets, n-1 séparateurs qui doivent se trouver entre ces objets, et donc au final, on doit placer n-1 séparateurs parmi m+n-1 cases (il faut prévoir m+n-1 cases pour pouvoir y mettre les m objets et les n séparateurs, puis placer les n-1 séparateurs, ce qui détermine la position des objets).
Pour clarifier les choses, voici une chaîne de m+n-1 caractères :
***********************
Je choisis que n-1 d'entre eux soient des séparateurs, par exemple :
****/***/*********/****
J'ai effectué un choix de n-1 parmi m+n-1. Le placement des objets est uniquement déterminé par ce tirage, puisque les objets vont dans les places qui restent.
Le nombre de répartitions possibles de m objets parmi n personnes, chaque personne ayant un nombre d'objets compris entre 0 et m, est donc de n-1 parmi m+n-1.
Il suffit de retrancher à ce nombre n-2 parmi m+n-2.
Le résultat est donc :
-
pour des objets indiscernables.
Maintenant, je me demande si on ne peut pas en déduire le résultat pour m objets discernables. En effet, une fois qu'on a placé les séparateurs (et donc déterminé le nombre d'objets entre chaque séparateur, donc pour chaque personne), n'y a-t-il pas m! façons d'ordonner les objets?
Il suffirait dans ce cas de multiplier chaque membre de la formule ci-dessus par m! (donc toute la formule ci-dessus par m!).
Pour résumer donc :
- je choisis le nombre d'objets que possède chaque personne, ce qui revient à choisir des séparateurs
- je calcule, une fois les séparateurs fixés, le nombre de façons d'ordonner les objets, il est égal à m!
- j'applique les deux points précédents pour n personnes puis pour n-1 personnes, puis je retranche le résultat pour n-1 à celui obtenu pour n personnes, histoire d'éliminer tous les cas où au moins une personne n'a pas eu d'objet.
Qu'en pensez-vous? Le raisonnement vous semble-t-il juste?
N* x N*, on note
le nombre de façons de répartir m objets parmi n personnes sachant que chaque personne a au moins un objet.
