Intégration sur un ouvert

[Krissprols]

Bonjour je souhaite étudier l'existence et le calcul de l'intégrale
[th(3x)-th(x)]/x par rapport à x entre 0 et +infini

comme la fonction est de signe constant convergence et intégrabilité sont équivalentes.

Ma question est de savoir si je suis obligé de séparer mon intégrale en deux intégrales de 0 à un "c" quelconque et de "c' a +infini pour étudier la convergence de ces deux intégrales

Ou bien je peux directement calculer l'intégrale de "a" à "b" et faire tendre "a" vers 0 et "b" vers l'infini en même temps ?

Merci

[Nightmare]

Salut!

Je te suggère d'utiliser le théorème de Fubini :



qui tend vers log(3) quand X tend vers +oo

:happy3:

[Krissprols]

je sais que la reponse est ln3 avec des encadrements j'ai pu le prouver...

mon hic vient du fait que comme on travaille avec un intervalle ouvert ]0;infini[ a-t-on quand même le droit de travailler avec une seule intégrale ayant comme borne a et b avec a qui tend vers 0 et b vers l'infini ... pour prouver la convergence de l'integrale ?

[Nightmare]

En 0 il n'y a pas de problème ta fonction y est prolongeable par continuité.

[Krissprols]

C'est pour cette raison que l'on peut utiliser les théorèmes sur les intégrales impropres valables sur les intervalles semi-ouverts? ici en fait notre intervalle c'est [0 ; infini[ et on peut travailler avec une seule intégrale ?

Merci

[Nightmare]

Je ne comprends pas, de quel théorème parles-tu ? Si tu parles du théorème de Fubini, alors il ne s'applique pas seulement pour les intervalles semi-ouvertes !

[Krissprols]

On dit que l'intégrale de f sur ] a,b [ converge si, pour c;)] a,b [, les intégrales de f sur ] a,c ] et sur [ c,b [ convergent.
On pose alors ;)] a,b[f=;)] a,c]f + ;)[ c,b [ f

Sans utiliser le théorème de Fubini je montre par encadrements que pour x de a à b lorsque a tend vers 0 et b vers l'infini, l'intégrale de ma fonction tend vers ln 3... ce qui me pose problème c'est que pour montrer sur un ouvert que l'intégrale converge il faut séparer en deux intégrales sur des semi-ouverts (comme ci-dessus) et montrer que chacune d'elle converge... Or je ne sépare pas et je trouve quand meme le bon résultat...

[Nightmare]

Ok, alors comme tu l'as dit effectivement ici c'est comme si on travaillait sur un intervalle semi-ouvert donc pas besoin de "séparer". Maintenant cela ne veut pas dire que ta preuve est forcément bonne :lol3:

[Krissprols]

Ce qui m'embêtait dans la démonstration c'est que si on ne précise pas qu'on prolonge par continuité en 0 on ne peut pas travailler sur un semi-ouvert avec une seule intégrale en faisant tendre les bornes en même temps.
Merci beaucoup.

[Ben314]

Bon, personellement, si la question est :
"quand une intégrale pose des problèmes au deux extrémitées de l'intervalle, doit on FORCEMENT couper en 2"
alors, la réponse est NON.
pour calculer l'intégrale de a à b (qui posent problèmes) tu peut (évidement) calculer l'intégrale de a' à b' avec a<a'<b'<b puis faire tendre a' et b' vers a et b (indépendament l'un de l'autre)

P.S. ce que tu ne doit pas faire, c'est prendre a'=a+1/n et b'=b-1/n (pas indépendant).
Dans ton exemple (a=0, b=infini) il ne faut pas prendre a'=1/n et b'=n.

[Krissprols]

Cela me semblait clair qu'on puisse faire tendre "indépendamment" comme tu dis les deux bornes, ... mais je ne trouve nulle part sur le net cette proposition ! à chaque fois il est écrit de séparer l'intégrale pour montrer sa convergence sur un ouvert en deux intégrales... et travailler sur des semi ouverts

[Ben314]

Si tu considère les deux bornes comme indépendantes, alors faire tendre a' vers a en gardant b' constant consiste à regarder ce qui se passe "à gauche" : c'est exactement la même chose que... si tu avait coupé en b'....
Idem de l'autre coté....

En résumé, considérer les deux bornes comme "indépendantes" c'est exactement la même chose que de couper en deux (tu économise juste une lettre dans la démonstration....)