Dérivabilité

[Sayan]

Bonjour,
Je voudrai savoir pourquoi lorsqu'on parle de la continuité d'une fonction c'est sur un intervalle fermé (ex : [a, b]) et lorsqu'on parle de dérivabilité sur un intervalle ouvert (ex: ]a, b[) ?
Et je voudrais également savoir quelle est l'utilité du théorème de Lagrange sur les accroissement finis ?
Merci

[Sayan]

Une réponse svp ?

[Skullkid]

Salut, rien n'empêche de parler de la dérivabilité sur un intervalle fermé. C'est juste qu'il y a plusieurs théorèmes (Taylor, Rolle...) dont les hypothèses sont de la forme "f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[", parce qu'on n'a pas besoin de connaître la dérivabilité de la fonction en a ou en b pour conclure.

Pour ce qui est du théorème de Lagrange sur les accroissements finis, j'imagine que tu veux parler du théorème de Taylor-Lagrange. Une de ses utilités est de calculer un majorant de , c'est-à-dire de contrôler l'erreur commise quand on fait une approximation affine de f en a. Tu verras plus tard que ce théorème se généralise pour majorer l'erreur commise lors d'approximations plus fines (les développements limités) de f.

[Ben314]

La question est complexe....
Tout d'abord, on a parfaitement le droit de parler d'une fonction continue sur un intervalle ouvert et.... d'une fonction dérivable sur un intervalle fermé (mais, dans ce dernier cas, il faut préciser ce que l'on entend par "dérivé" pour les points au bord : en général on prend les "demi tangentes")

N'empèche qu'effectivement, trés souvent on prend l'intervalle fermé pour "continue" et ouvert pour "dérivable".

Pour le cas "continue", cela vient du fait que l'on a plus de théorème dans ce cas que sur les intervalles ouverts : par exemple une fonction continue sur un intervalle fermé est bornée : elle ne peut pas tendre vers l'infini. C'est (évidement) faux sur un intervalle ouvert.

Pour la dérivabilité, cela vient du fait que, si l'intervalle est fermé, il faut clairement préciser ce que l'on entend par dérivable pour les deux extrémitées et que souvent c'est assez ennuyeux. Par exemple si tu demande juste que la limite à droite (ou à gauche) du taux d'accroissement existe tu obtient des résultats "pas trés joli" du style : la fonction valeur absolue est dérivable sur [-1,0], elle l'est aussi sur [0,1] mais elle ne l'est pas sur [-1,1]... (remarque pour la continuité, il n'y a pas de problème : si f est continue sur [-1,0] et sur [0,1] alors elle est continue sur [-1,1]

Pour le dernier point, le théorème des accroissement fini sert... à des tas de chose. C'est en particulier grâce à lui que l'on montre que, si f' est positive alors f est croissante. C'est un des théorèmes les plus utile qui soit....

P.S. je n'avais pas encore vu le post de skullskid d'où... les redondances...

[benekire2]

tien d'ailleurs, le théorème qui dit que si f' est positive alors f est croissante n'est pas démontré au lycée ...

[Ben314]

of course..... puisqu'il n'y a pas le Théorème des Accroissement Finis et que la plus joli façon de voir ce résultat (f'>0 => f croissante) c'est comme application immédiate du Théorème des Accroissement Finis...

[benekire2]

le théorème des croisements finis étant un corolaire du théorème de rolle c'est normal ...