Exponentielle et équation diférentielle

[lyly131]

Bonjour à tous!
J'ai l'exercice suivant à faire et j'aurai besoin d'aide. Je bloque à partir de la question 2

Le but de l'exercice est de démontrer l'existence d'une unique fonction f dérivable sur R vérifiant la condition: (C) f(-x)f'(x)=1 pour tout réel x et f(0)= -4 puis de déterminer cette fonction.

1. On suppose qu'il existe une fonction f satisfaisant la condition (C) et on considère la fonction g définie sur R par g(x)=f(-x)f(x).
a) Démontrez que la fonction f ne s'annule pas sur R.
b) Calculez la fonction dérivée de la fonction g.
c) Déduisez-en que la fonction g est constante et déterminez sa valeur.
d) On considère l'équation différentielle (E): y'=(1/16)y.
Montrez que la fonction f est solution de cette équation et qu'elle vérifie f(0)= -4

2. Démontrez qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle (E) prenant la valeur -4 en 0.

3. Déduisez des questions précédentes qu'il existe une seule fonction dérivable sur R satisfaisant la condition (C) et préciser quelle est cette fonction.

Merci d'avance!

[Mayor]

Pour la deuxième question, supposes qu'il existe f et h deux fonctions solutions de (E) telles que f(0)=h(0)=-4

Tu as alors f'(x)=(1/16)f(x) et h'(x)=(1/16)h(x)
Donc f'(0)=-4/16=-1/4, idem pour h'(0)

Tu as donc f'(x)=a.x-1/4 et h'(x)=b.x-1/4
Intègres ces fonctions pour avoir aussi f(x) et h(x) en utilisant la condition f(0)=h(0)=-4.

Ensuite, remplaces les dans (E), c-a-d au lieu d'écrire f'(x)=(1/16)f(x), tu mets les expressions que tu viens de trouver.
Puis essaies de soustraire l'équation en h à l'équation en f.

Que trouves-tu?