TS, conjugué de nombres complexes

[adrien202]

Bonjour,

j'ai z'= (iz)/(z-i)
Je remplace z par x+iy et au dénominateur j'obtiens x+iy-i.
Mais je ne sais pas comment les organisés pour trouver le conjugué.
Merci de votre aide

[Mayor]

Salut.
Factorise , puis quantité conjugée au dénominateur, alors le conjugué de z' sera évident...

[adrien202]

si je factorise j'obtiens x+i(y-1)
Le conjugué serait-il alors x-i(y-1)?
Ce qui donnerait au dénominateur x²+(y-1)²

[Mayor]

Oui, mais il faut aussi multiplier ton conjugué du dénominateur en haut, pour ne pas changer la valeur de z'...
ce qui te donnes :

[adrien202]

ok, merci
J'en suis à x²+y²-2y+1 au dénominateur

et je suis en train de galérer pour le numérateur!

je finis par y obtenir -x+x²i+y²i-yi

[Mayor]

Ok, tu as , factorises ton numérateur, conjugues le numérateur (tu peux conjuguer le dénominateur, mais étant un nombre réel, ça ne fera rien ) et c'est fini...

[adrien202]

:doh: ah ouai... Je crains ne pas avoir vu encore ça.

Dans l'exo on me demande de déterminer l'ensemble des points T des points M, distinct de A, pour que z' soit réel.

En sachant que A est le point d'affixe i;

J'ai donc distingué Re(z')= (-x)/(x²+y²-2y+1)

et Im(z')= (x²+y²-y)/(x²+y²-2y+1)

Je trouve (x²+y²-y)=0 x²+y²=y
On a donc un cercle de centre O et de rayon

[adrien202]

et maintenant je doit montrer que z'-i= (-1)/(z-i)
Mais j'obtiens x(-1+i) au numérateur

[Mayor]

J'ai donc distingué Re(z')= (-x)/(x²+y²-2y+1)

et Im(z')= (x²+y²-y)/(x²+y²-2y+1)

Oui!
Mais ton est-il différent de 0???

Je trouve (x²+y²-y)=0 x²+y²=y
On a donc un cercle de centre O et de rayon

Aïe...
comme rayon, ça craint...

Nan, il faut que tu vois une identité remarquable partielle sur y :

Ok?

Donc tu obtiens , ce qui est mieux, c'est un cercle de centre C(0,1/2), de rayon 1/2...

[Mayor]

et maintenant je doit montrer que z'-i= (-1)/(z-i)

Repars de la forme et remarques que

Refais alors et ça tombe tout seul.

[Ben314]

Bonjour,
Juste une petite remarque :
Pour évaluer le conjugué de (iz)/(z-i) , on peut effectivement commencer par "simplifier" la fraction, mais ce n'est pas indispensable : le conjugué d'un quotient est... le quotient des conjugués.

[Mayor]

:briques: Euh oui, j'avais oublié ce point là... Mea culpa.
Mais bon, ça fait pas de mal de faire un peut de calculs complexes! :we:

[Anna_05]

pouahhhhhh c 'est compliqué tout ca!! :briques: