Fonctions réelles, continuité

par **mathieu.1** » 03 Déc 2009, 07:35

Bonjour! Tu es nouveau sur le forum: va lire le règlement et respecte-le! merci

Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ?

Je suis coincé à la première question d'un exercice, et les autres questions en dépendent.

On considère l'application f :

QQES soient (x,y) dans [0,1]², x#y => \f(x)-f(y)\ R
x -> \f(x)-x\

Montrer que g est continue.

(les notations entre \...\ représentent des valeurs absolues).

Merci d'avance.

par **Doraki** » 03 Déc 2009, 08:48

est-ce que f est continue ?

par **amath** » 03 Déc 2009, 10:24

Doraki a écrit:est-ce que f est continue ?

bonjour
poser (x,y) = (x,x0)
et alpha=upsilon
f est continue

par **gdlrdc** » 03 Déc 2009, 13:06

Tu montres que f est continue
après f(x) -x est continue comme somme de fonctions continues
et valeur abs est continue sur R.
g est la composée de 2 fonctions continues donc ....

Il ne te reste plus qu'a rédiger cette petite démo, bon courage.

par **mathieu.1** » 03 Déc 2009, 16:35

Merci.
Je pense utiliser le fait que f est 1-lipschitzienne et procéder ensuite comme décrit ci-dessus. La question que me pose problème est en réalité :

Que peut-on dire de inf(g) sur [0,1] ?

par **Nightmare** » 03 Déc 2009, 17:03

Salut,

ta fonction est continue et [0,1] est compact donc elle y est bornée et y atteint ses bornes. inf(g) existe et vaut un certain g(x).

par **mathieu.1** » 03 Déc 2009, 20:55

Désolé de vous mettre encore à contribution, mais je dois en déduire que f admet un unique point fixe dans l'intervalle [0,1]. Je ne vois vraiment pas comment faire, étant donné le peu d'information dont je dispose sur f et g...
Je suis d'accord que inf(g) existe et est atteint, mais comment cela peut-il m'aider ?

par **Nightmare** » 03 Déc 2009, 23:52

Il s'agit de montrer que ta fonction g s'annule au moins en un point !

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