Dm spé maths term ES

par **marionp** » 29 Nov 2009, 18:31

Bonjour,
Je vous mets l'enoncé de mon DM:

On considère la suite (Un) définie par:
U0=1 et Un+1= 3/4 Un +2
1) Dans un repère orthonormal d'unité 1 cm tracer les droites D d'équation y= (3/4)x+2 et delta d'équation y=x

Déterminer leur point d'intersection A
(Je pense qu'il s'agit du point A (8;8)

2) a) calculer a la main U1,U2,U3, et en donner une écriture fractionnaire

J'ai trouvé U1= 7/4 , U2= 53/16 , U3= 287/64
Mais ces résultats me semblent illogiques :triste:

b) Placer U1 et U2 et construire U3 puis U4

U1 et U2 placés avec les arrondis, mais pourquoi construire U3 ?

Voila mes quelques questions merci d'avance pour votre aide.

par **bombastus** » 29 Nov 2009, 19:23

Bonsoir,

marionp a écrit:2) a) calculer a la main U1,U2,U3, et en donner une écriture fractionnaire

J'ai trouvé U1= 7/4 , U2= 53/16 , U3= 287/64
Mais ces résultats me semblent illogiques :triste:

Effectivement, ces résultats sont faux :
U1 = 3/4*1+2= 3/4+2 =...

marionp a écrit:b) Placer U1 et U2 et construire U3 puis U4

U1 et U2 placés avec les arrondis, mais pourquoi construire U3 ?

Voila mes quelques questions merci d'avance pour votre aide.

Tu as dû apprendre une méthode pour tracer les termes d'une suite sur un graphe (à l'aide de la droite d'équation y=x), non?

par **marionp** » 29 Nov 2009, 19:50

Merci :)

Donc U1= 3/4 + 2 = 3/4 + 8/4 = 11/4
U2= 3/4 U1 +2 = 3/4*11/4 + 2= 33/16 + 32/16 = 65/16
U3= 3/4 U2 +2 = 3/4*65/16 +2= 195/64 +128/64 + 323/64

Je pense avoir fait de nouveau une erreur mais j'ai beau relire, je ne la vois pas..

Et effectivement j'ai trouvé sur internet la méthode pour construire les points.

par **bombastus** » 29 Nov 2009, 19:53

Ca m'a l'air juste,
les fractions sont un peu tordues, c'est tout.

par **marionp** » 29 Nov 2009, 20:23

Ok, merci beaucoup :)
Par contre je bloque sur autre chose un peu plus loin..
En gardant le meme énoncé:
Question 3 ) On pose Vn=Un-8 pour tout entier n
a) Démontrer que (Vn) est une suite géométrique
b) En déduire Vn, puis Un, en fonction de n
c) En déduire le sens de variation de (Un) et sa limite

a) Vn = Un-8
Vn+1= Un+1 -8 = (3/4 Un+2)-8 =3/4 Un-6 = 3/4 (Un-8) = 3/4Vn
donc Vn suite géo de raison 3/4 et de 1er terme V0 = U0-8 =1-8= -7

b) Vn= V0*q^n = -7 *(3/4)^n
Un= Vn +8 = (-7*(3/4)^n)+8

c) Alors voila pour le sens de variation je suis perdue. J'ai essayé d'appliquer la méthode :
Un+1 -Un = 3/4 Un +2 - ( (-7*(3/4)^n) +8 ) = 3/4 Un +2 -Un = 1/4Un +2

Mais je vois pas comment continuer, et si je suis bien partie.

Limite Un:
lim (x tend vers +infini) (3/4)^n =0 car 3/4<1

par **bombastus** » 29 Nov 2009, 20:31

marionp a écrit:c) Alors voila pour le sens de variation je suis perdue. J'ai essayé d'appliquer la méthode :
Un+1 -Un = 3/4 Un +2 - ( (-7*(3/4)^n) +8 ) = 3/4 Un +2 -Un = 1/4Un +2

Mais je vois pas comment continuer, et si je suis bien partie.

Tu as un peu tourné en rond au début :
Un+1 -Un = 3/4 Un +2-Un = 1/4Un +2
maintenant tu remplaces Un par (-7*(3/4)^n) +8 et tu essaies de trouver le signe de l'expression que tu obtiens.

marionp a écrit:Limite Un:
lim (x tend vers +infini) (3/4)^n =0 car 3/4<1

Et donc la limite de Un = ...?

par **marionp** » 29 Nov 2009, 21:17

Justement, c'est la que je bloque, car si je remplace par l'expression :
1/4 Un+2 = 1/4 (-7*(3/4)^n) +8 = -7/4 *(3/16)^n +8 ???

Et lim (x tend vers +infini) Un = 0

par **bombastus** » 29 Nov 2009, 21:24

marionp a écrit:Justement, c'est la que je bloque, car si je remplace par l'expression :
1/4 Un+2 = 1/4 (-7*(3/4)^n) +8 = -7/4 *(3/16)^n +8 ???

Oui, et compare -7/4 *(3/16)^n et 8 :
0<(3/16)^n <1
donc :
.... < 7/4 *(3/16)^n < ....

marionp a écrit:Et lim (x tend vers +infini) Un = 0

Non, et le +8, on l'oublie?

par **marionp** » 29 Nov 2009, 21:47

Je suis désolée, j'ai beau chercher dans mon cour et exercices je comprend pas comment il faut faire :
0<(3/16)^n <1
0< 7/4 *(3/16)^n < 7/4
8< (7/4 *(3/16)^n) +8 < 7/4 + 32/4
8< (7/4 *(3/16)^n) +8 < 39 /4 (~9.75)

donc Un est croissante ?

Et exact merci j'allais oublier
Lim (n tend vers +infini) Un = 8

par **bombastus** » 29 Nov 2009, 21:55

marionp a écrit:Je suis désolée, j'ai beau chercher dans mon cour et exercices je comprend pas comment il faut faire :
0<(3/16)^n <1
0< 7/4 *(3/16)^n < 7/4

A partir de la il faut prendre en compte le -
Que devient les inégalités pour : -7/4 *(3/16)^n?
puis ensuite pour -7/4 *(3/16)^n+8?

par **marionp** » 29 Nov 2009, 22:02

0<(3/16)^n <1
0> - 7/4 *(3/16)^n > -7/4
8 > - 7/4 *(3/16)^n +8 > -7/4 + 32/4
8 > - 7/4 *(3/16)^n +8 > 25/4

par **bombastus** » 29 Nov 2009, 22:06

Oui, donc conclusion sur le signe de Un+1-Un? et donc sur les variations de la suite?

par **marionp** » 29 Nov 2009, 22:10

euh Un+1>Un donc Un est croissante

par **bombastus** » 29 Nov 2009, 22:15

exactement

par **marionp** » 29 Nov 2009, 22:17

Ok super ! Merci beaucoup :)

par **bombastus** » 29 Nov 2009, 22:19

De rien

retiens la méthode, ça peut servir!

Bonne soirée.

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