Dérivabilité et continuité

[sylflo]

Bonjour.
J'ai un exercice de math à faire dont voici le lien pour l'énoncé
cliquer ici
Je sais que si une fonction est continue alors elle est dérivable.
Donc là il faut je suppose prouver que la fonction est continue; j'ai donc calculer la limite de -x²+bx+c à gauche de
et la limite de(-x+3)/(x-1) à droite de 2
J'ai respectivement trouvé -4+2b+c et .
Voilà après je ne sais pas quoi faire peut-être un système à deux équations.
Mais j'aimerais avoir votre avis.
Merci d'avance.

[The Dude]

Je sais que si une fonction est continue alors elle est dérivable.

ça en tout cas c'est faux

(je n'ai pas lu le reste x))

[Ericovitchi]

Pour qu'elle soit dérivable, il faut que les deux fonctions aient la même valeur en 2 (et là tu as trouvé que ça s'écrivait -4+2b+c=1, c'est exact) mais il faut aussi que les dérivées des 2 fonctions au point 2 soient identiques.

[sylflo]

Oui effectivement je me viens de me rendre compte que j'ai inversé ça donne alors si f est dérivable en 2 alors f est continue en 2.

[sylflo]

il faut aussi que les dérivées des 2 fonctions au point 2 soient identiques.

Donc si j'ai bien compris je calcule la dérivée de (-x+3)/(x-1) et là je trouve -1 et je dois donc trouver la dérivée de -x²+bx+c tel que sa dérivée soit égale à -1. Mais déjà en calculant la dérivée de -x²+bx+c on trouve -2x + b.
Donc si je ne me trompe pas j'ai bien un système à deux équations avec
-4 +b +c =1
-2x+b=-1
C'est ça ?

[Sve@r]

Donc si j'ai bien compris je calcule la dérivée de (-x+3)/(x-1) et là je trouve -1

Etonnant !!! Pour moi la dérivée de sera une fonction du type mais ptet que les règles de calcul de dérivées ont changé et que maintenant ça donne une constante !!!

[The Dude]

la dérivée de (-x+3)/(x-1) évaluée en 2 vaut bien (de tête) -1 hein...

Faut lire tout l'énoncé avant de faire une remarque inutile :p

[Ericovitchi]

non elle ne vaut pas -1

[The Dude]

mea culpa, faute de signe, elle ne vaut pas -1. Je me tairai la prochaine fois :briques:

[sylflo]

Donc la dérivé de (-x+3)/(x-1) et donc nul (j'avais complétement zappé la formule qui est dérivé de u/v vaut (u'v-uv')/(v)²
Lorsque que l'on calcule la dérivé de -x²+bx+c on trouve -2x +b
Et donc on trouve un système avec mais le x gêne.
-4+2b+c=1
-2x+b=0
Voilà et merci de l'aide que vous m'apporter.

[Ericovitchi]

Tu trouves -2x +b mais tu dois prendre la valeur de la dérivée au point 2. Il ne faut pas garder le x dans le système.

Et puis pourquoi =0 ? C'est quoi la valeur de la dérivée de au point 2 alors ? Ca n'est pas zéro non plus.

[sylflo]

Pour calculer la dérivée de (-x+3)/(x-1). que j'appellerais ici g(x)
J'ai utilisé le taux d'accroissement j'ai donc calculé la lilite de (-x+3)/(x-1) quand x tend vers 2 et quand x> ou égale à 2.
Ce qui me fait calculer (g(x)-g(2))/(x-2) ce qui donne (-2x²+4x-8)(x-1)
et donc je trouve comme dérivé -8

Tu trouves -2x +b mais tu dois prendre la valeur de la dérivée au point 2. Il ne faut pas garder le x dans le système.

Si j'ai bien compris ça donne juste -2+b=-8 alors?

[Ericovitchi]

non essayes de calculer correctement cette dérivée STP
Comme tu l'as déjà dit, appliques (u'v-uv')/(v)²

Ca aurait pu aussi marcher avec ton calcul de limite s'il n'y avait pas des fautes partout.
(g(x)-g(2))/(x-2) ne peut pas donner (-2x²+4x-8)(x-1)

un dénominateur en x-2 ne se transforme pas en x-1 et puis il faut trouver la limite pour x -> 2 par faire x=0

[sylflo]

Je détaille mes calculs
(-x+3)/(x-1) donc pour la dérivée de -x+3 on a -1 qui est u'
pour la dérivée de x-1 on a 1 qui est v'

donc on a u'v qui vaut -1(x-1)= -x+1
donc on a uv' qui vaut (-x+3)1= -x+3

on a u'v-uv'= (-x+1)-(-x+3)
= -x+1+x-3
=-2
donc dérivée de (-x+3)/(x-1) est égale à (-2)/(x-1)²

Donc je me retrouve maintenant
-4+2b+c=1
et la deuxième je ne vois pas ce qui nous permet d'enlever les x?

[Ericovitchi]

Oui très bien la dérivée.

Ce qui te permet d'enlever les x c'est que tu compares ces deux dérivées AU POINT 2. Donc tu fais x=2 dans les deux dérivées et tu dis qu'elles sont égales (comme tu as déjà fait pour les fonctions).
(si tu lisais les posts, ça éviterait qu'on soit obligé de dire 10 fois les mêmes choses)

[sylflo]

Voilà j'ai calculé j'ai trouvé b=2 et c=1 j'ai calculé alors la limite et j'ai bien trouvé 1.
Donc voilà et merci de votre aide.