Indice de nilpotence

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girdav
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Indice de nilpotence

par girdav » 28 Juil 2009, 11:39

Bonjour.
On se donne un anneau commutatif et on note

et pour on note

On démontre via le binôme de Newton que et que
Mais y a-t-il une expression simple de en fonciton de et ?



nyafai
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par nyafai » 28 Juil 2009, 15:05

Bonjour,
Il me semble qu'on a nil(x+y) = nil(x)+nil(y)-1
En effet, si tu prends n=nil(x)+nil(y)-1 et k dans 0,n, tu auras toujours k>=nil(x) ou n-k>=nil(y) et tous les termes du binome de newton s'annulent.

Par contre pour n=nil(x)+nil(y)-2, le terme k=nil(x)-1 donne n-k= nil(y)-1 et ce terme ne s'annule pas alors que tous les autres si.
En espérant ne pas m'être trompé

girdav
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par girdav » 28 Juil 2009, 15:44

Bonjour nyafai.
Un truc que je ne comprend pas: soit soit auquel cas et non pas sinon ça m'a l'air correct.
Je me demandais combien il fallait retirer à la somme des nil pour avoir l'indice de la somme.
En fait j'aurais dû me dire que dans ce cas, ça ne pouvais être que puis que pour on a

nyafai
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par nyafai » 28 Juil 2009, 15:54

Justement, dans le deuxième cas l'inégalité est stricte et on a n-k>nil(y)-1 et pas supérieur ou egal comme tu l'as écrit.
A part ca d'accord avec toi :we:

girdav
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par girdav » 28 Juil 2009, 16:20

En effet, le contraire de est . Merci.

skilveg
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par skilveg » 28 Juil 2009, 16:31

nyafai a écrit:Il me semble qu'on a nil(x+y) = nil(x)+nil(y)-1
J'ai l'impression que c'est faux en général: si est nilpotent d'indice , alors aussi, mais est nilpotent d'indice .

girdav
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par girdav » 28 Juil 2009, 18:37

Donc la formule, si elle existe, est plus compliquée que cela.

girdav
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par girdav » 31 Juil 2009, 09:46

Par contre pour n=nil(x)+nil(y)-2, le terme k=nil(x)-1 donne n-k= nil(y)-1 et ce terme ne s'annule pas alors que tous les autres si.

En fait le terme que l'on récupère est
Or ce dernier peut très bien être nul, puisqu'on ne suppose pas intègre (sinon le seul élément nilpotent serait ).

alavacommejetepousse
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par alavacommejetepousse » 03 Aoû 2009, 23:13

girdav a écrit:En fait le terme que l'on récupère est
Or ce dernier peut très bien être nul, puisqu'on ne suppose pas intègre (sinon le seul élément nilpotent serait ).

bonsoir
en effet on n'a qu 'une inégalité et non une égalité

girdav
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par girdav » 04 Aoû 2009, 09:41

Et donc la formule que je recherchais n'existe probablement pas. Merci à tous!

girdav
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par girdav » 28 Nov 2009, 21:46

J'ai finalement vu qu'elle n'existe pas sur un autre forum.
L'indice de nilpotence de la somme dépend très fortement de l'anneau considéré.

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Ben314
Le Ben
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par Ben314 » 28 Nov 2009, 21:54

Salut,
Si tu veux un exemple trés con, regarde
1) x+(-x) !!!!
2) les indices de nilpotences dans Z/8Z par exemple celui de 6(->3) et de 6+6(->2) !!

L'indice de nilpotence de la somme ne dépend pas "que de l'anneau" mais trés fortement de la nature des éléments :
Dans Z/p^nZ, l'indice de nilpotence se calcule à l'aide de la valuation padique : s'il est vrai que p divise x et y implique p divise x+y (ca c'est la facon de dire dans Z/p^nZ que la somme de deux nilpotents est nilpotent), la valuation p-adique de x+y n'est pas claire du tout (dans le cas ou x et y ont la même valuation)

Essaye de voir dans Z/p^nZ quel sont les différents indices de nilpotences et, dans quels cas on peut déduire celui de x+y connaissant celui de x et de y.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

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