Une proposition

par **ludo56** » 26 Nov 2009, 12:34

Bonjour,

connaissez-vous cette proposition qui est un corollaire de la décomposition polaire :

Pour tout A

,

et

et D diagonale à valeurs propres strictement positives tq A =

.

Avez-vous une source de démonstration??

par **legeniedesalpages** » 26 Nov 2009, 14:36

Bonjour,

en diagonalisant dans une base orthonormée la matrice symétrique issue de la décomposition polaire de A, ça doit facilement se trouver.

par **ludo56** » 27 Nov 2009, 17:23

je suis d'accord qu'il faut partir de là, mais il y a sûrement un truc bête qui me chagrine quand on rajoute la matrice orthogonale de la décomposition... est-ce que tu pourrais m'en dire plus stp?

par **legeniedesalpages** » 27 Nov 2009, 17:49

La décomposition polaire nous donne

, avec

orthogonale et

symétrique définie positive.
En diagonalisant A dans une base orthonormé on a

, avec

orthogonale, et

diagonale avec des valeurs >0.
Donc

, il suffit de prendre

et

.

par **ludo56** » 27 Nov 2009, 17:57

ce que je ne comprends pas trop c'est que dans ta dernière ligne,
O est dans la base de départ tandis que D est dans la base de diagonalisation de S...

par **legeniedesalpages** » 27 Nov 2009, 18:28

D'où l'apparition des matrices de passage

et

.

par **ludo56** » 27 Nov 2009, 18:35

d'accord je vois.. et du coup

= P^(-1) est une matrice orthogonale dans quelle base?

par **legeniedesalpages** » 27 Nov 2009, 18:54

On a pas besoin de considérer de base pour savoir si une matrice est dans

ou pas.

par **ludo56** » 27 Nov 2009, 18:59

d'accord merci bien!

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