Equation différentielle

[yongqi]

Bonjour,

J'aimerai avoir un petit coup de pouce pour démarrer dans la résolution de ces exercices où il faut montrer que l'affirmation est vraie ou fausse :

1.Soit a : R ->[0 ,+ inf[ une fct C1 qui ne prend que des valeurs positives. Soit f une solution maximale de l'equa diff y' = y² + a(x). Alors f n'est pas définie sur R tout entier.

2. Si la fonction f : R->R est solution de l'equ diffy'=y²y^3 +y, et sif(1)>0 alors f est strict positive et strict croissante.

3. Si la fct f : R ->R est solution de l'equa diff y'= sin(y²-x²)+1/2, et si f(0)=-1, alors x>f(x) pour tout x >= 0

Merci

[mathelot]

bonjour,

i)
une technique, c'est , grâce aux hypothèses, d'encadrer la fonction f
par des constantes ou des polynomes et d'obtenir la conclusion
à partir d'inégalités

ii)
autre technique:
si l'expression qui "majore" est le membre de gauche d'une
équation différentielle qui s'intégre, on obtiendra certainement
un résultat en faisant un changement d'inconnue lié à la solution:

par exemple, si on majore
y" < y' + y
on aura envie de poser

[mathelot]

bonjour,

la 1. est vraie.

soit tel que

Dans un voisinage droit de , avec h>0
par continuité de y, y est une fonction strictement croissante
et
on réapplique l'argument au point

finalement, il existent deux nombres A et B,éventuellement infinis tels que

y est un bijection continue strictement croissante de
sur

on peut inverser cette bijection et x est fonctiohn continue, strictement croissante de la quantité y.

L'équa diff. est à variables séparées


en intégrant ces fonctions (continues) de à y ,
il vient:



on en déduit que la composante connexe du domaine de définition de y
contenant est bornée supérieurement. Toute solution maximale de l'équation différentielle ne sera jamais définie sur R tout entier.

exemple:


si , même chose mais cette fois,à gauche de , la fonction applique
bijectivement, et de manière croissante,
sur

Dans ce cas, le domaine de définition de y est borné inférieurement.

[mathelot]

re,

pour la 2., peux tu ré-indiquer l'équation ?

pour la 3. , à la calculatrice, la courbe intégrale de l'équation qui passe par A(0;-1) est une sinusoïde à croissance (très) lente

en intégrant de t=0 à x:

[mathelot]

re,

j'ai du mal pour la question 3. à trouver une solution "simple".
sinon, il y a la théorie générale avec les -solutions.
par exemple , voir Cartan, calcul différentiel.
y'=F(x,y) avec F localement lipschitzienne relativement à y.

[mathelot]

up..................................................................................

[yongqi]

Pour la 3, la fonction n'est pas linéaire car il y a un y² qui intervient dans le sin. Alors comment faire ?

Pour la 2 l'énoncé : Si la fonction f : R->R est solution de l'equation différentielle y'=y²y^3 +y, et si f(1)>0 alors f est strict positive et strict croissante.