Espaces vector...,Endomorphisme.

[moussaxp]

bon jour le mond . j' ai un promlem sur les espaces . les endomorphismes : E est un IK espace vectoriel .et f et g appartient a l'ensemble des endomor.. L(E) telle que f0g0f=f et g0f0g=g . -----------1-montrez que E=kerf+Img------------------------(+:somme directe)--------2- f(Img)=Imf -----merci

[Anonyme]

Coup de gueule dans le vide : y'en a marre des messages écrits n'importe comment (orthographe, présentation ...) !!!

[sirglorfindel]

Pour la question 1, soit x dans E, il faut le décomposer en gof(x) + [x-gof(x)]
Le premier morceau est dans Im g et le second dans Ker f (une petite vérification suffit)
Pour la somme directe, il suffit de montrer que l'intersection de Img et Kerf est vide :
soit x dans cette intersection : x=g(y) et f(x)=0
Alors gofog(y)=g(0)=0 d'où g(y)=0 (ie x=0)

Pour la question 2, tu as déjà une inclusion évidente (f(Img) est inclu dans Imf).
Pour la réciproque, tu prends x dans Imf : f(y)=x puis fogof(y)=fog(x), ie f(y)=fog(x), d'où x=fog(x)

J'espère que cela t'a aidé

[moussaxp]

SIRGLORFiNDEL....Merci n fois .avec n dans IN- (0).