équa diff

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
danna
Membre Naturel
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équa diff

par danna » 05 Mar 2006, 12:57

Bonjour je suis en classe de terminal scientifique ! je dois resoudre un probleme mais je ne vois pas comment faire !! dc j'ai pensé a vous ! voici l'enoncé :
Un modele de l'evolution d'une population condiot à l'équation differentielle: dP/dt=P(1-P/500), où P désigne la population à l'instant t exprimé en années.
1)En utilisant la méthode d'Euler avec un pas de 1,donner une valeur approchée de P(3) dans chacun des deux cas suivants : P(o)=100 puis : P(o)=0 ici je ne voisp as comment faire car j'obtient des resultat qui ne sont pas coherent
2)Pour résoudre cette équation différentielle, on suppose que, pour tout réel t>ouegal a 0 , P(t)>0 et on pose f=1/P. Montrer que f est solution de l'équation différentielle: y'=(1/500)-y !! est ce que vous pouvez me guider ?
je vous serait tres reconnaissant si vous m'aidez car je ne comprend pas trop !! je vous remercie d'avance et bon courage



allomomo
Membre Irrationnel
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Enregistré le: 01 Mai 2005, 01:14

par allomomo » 05 Mar 2006, 13:06

Salut,

Tout est condensé, ca donne pas envis de lire

Sors les trucs importants !!! au lieu de faire une dissertation

Infos :

Quidam
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Enregistré le: 03 Fév 2006, 16:25

par Quidam » 05 Mar 2006, 13:07

dP/dt=P(1-P/500)


f(t)=1/P(t)
df/dt = -1/P²(t)*dP/dt = -f²(t)*1/f*(1-1/500f) = -f+1/500

f'+f=1/500

danna
Membre Naturel
Messages: 63
Enregistré le: 04 Déc 2005, 15:59

par danna » 05 Mar 2006, 13:49

je n'est vraiment pas compris malgré votre aide
pouvez vous m'expliquez davantage svp

Quidam
Membre Complexe
Messages: 3401
Enregistré le: 03 Fév 2006, 16:25

par Quidam » 06 Mar 2006, 00:47

dP/dt=P(1-P/500)

P est une fonction de t. dP/dt est la dérivée de P. Donc ton équation s'écrit :

P'=P(1-P/500)

Ensuite tu définis f(t)=1/P(t), relation que l'on peut écrire encore : P(t) = 1/f(t). La dérivée de f est voir ton cours sur la dérivée des fonction composées) : f ' (t)= -1/[P(t)]²*P'(t)

Il en résulte que P'(t)=-f ' (t)*[P(t)]² = -f ' (t)/[f(t)]²

On peut maintenant remplacer P(t) par 1/f(t) et P'(t) par -f ' (t)/[f(t)]² dans ton équation de départ :

P'(t)=P(t)(1-P(t)/500) devient :

-f ' (t)/[f(t)]²=1/f(t)(1-1/f(t)/500)

Soit :

-f ' (t) = f(t) - 1/500

Ou encore :
f ' (t) = 1/500 - f(t)

 

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