Matrices symétriques dans espace euclidien

[thochi8]

Je cherche à résoudre le problème suivant :
"montrer que (Tr(A))²/Tr(A²)Je ne vois pas comment introduire le rang dans cette inégalité.
Y aurait-il quelqu'un pour m'éclairer?
Merci d'avance

[Skullkid]

Bonsoir, vu le titre que tu as donné à ce topic j'imagine que tu as déjà pensé à diagonaliser A. Quel lien vois-tu entre le rang et les valeurs propres de A ?

[Ben314]

Bonjour,
Juste une petite remarque : pour que le résultat soit juste, il faut mettre une inégalité large (Tr(A))²/Tr(A²)<=rang(A),

[thochi8]

Et bien j'ai dimKer(A-lIn)=n - rang(A-lIn), mais je n'arrive à utiliser cette formule dans ce cas-ci, en lien avec les traces...

[thochi8]

J'ai également exprimé le quotient (TrA)²/Tr(A²) sous forme de quotient de deux sommes de valeurs propres, mais je n'arrive pas à écrire une inégalité ensuite...

[Ben314]

Le post de 20h13 est sur la bonne voie...
Allez, je te donne un coup de pouce :
Comment s'exprime en terme purement calculatoire le fait qu'en dimension finie, le produit scalaire (en valeur absolue) de deux vecteur soit inférieur au produit des normes des deux vecteurs.
(pour le moment, ne cherche pas le rapport avec ton problème)
Que devient cette inégalité si un des deux vecteurs a pour coordonnées (1,1,1,...,1) ?

A+

[Skullkid]

Et bien j'ai dimKer(A-lIn)=n - rang(A-lIn), mais je n'arrive à utiliser cette formule dans ce cas-ci, en lien avec les traces...

Ce qui t'intéresse c'est rg A, donc le seul moyen d'utiliser cette égalité c'est de prendre le cas l = 0 : rg A = n - dim Ker A. Peux-tu relier dim Ker A aux valeurs propres de A ?

Ça plus l'indication de Ben314 et tu devrais t'en sortir.

[thochi8]

Merci beaucoup ce petit coup de pouce m'a bien débloqué!
Bonne fin de soirée