Partage d'un triangle 1ere S

[dadootek]

Bonjour à tous voici le problème:

Gaétan et Gaston ont hérités d'un terrain triangulaire dont les cotés mesurent respectivement 50m, 60m et 70m. Le terrain étant bordé de très beaux arbres sur tout son périmètre, ils décident de se le partager par un segment de sorte que chacun aie la meme aire et la meme portion du périmètre initial.Résoudre leur problème.
Si quelqu'un pouvez m'aider ça serait gentil...

[Quidam]

Appelons a,b,c les longueurs des trois côtés, respectivement opposés aux trois sommets A,B et C. Le périmètre initial est a+b+c. Chacun doit avoir la moitié (ici (50+60+70)/2=90).

Je propose de donner un triangle A B' C' (B' sur AC et C' sur AB), à l'un et le reste, soit le quadrilatère BC'B'C à l'autre (il y a trois façons de donner ces noms : (a=70, b=60, c=50), (a=60, b=50, c=70), (a=50, b=70, c=60) ; tu devras donc étudier trois possibilités de découpage.

Posons x=AB'. Alors pour que celui qui reçoit le triangle ait la moitié du périmètre initial, il faut que AC'+AB'=90. Donc que AC' = 90-x (il faudra vérifier que 90-x < c). Maintenant, la surface du champ initial est bcsin(A)/2. La surface du triangle AB'C' est x*(90-x)sin(A)/2 qui doit être la moitié de la surface du champ initial, donc : x*(90-x) = bc/2

C'est une équation du second degré qui a ou n'a pas de solutions, selon les grandeurs de a,b et c. Quand il y a des solutions, cela donne à chaque fois deux possibilités (qui ne sont pas identiques, car b n'est pas égal à c), mais pour chacune d'elles, tu devras vérifier que les points B' et C' sont respectivement à l'intérieur des segments AC et AB, c'est à dire que x
Tu trouveras un maximum de six solutions, dont tu devras éliminer un certain nombre parce qu'elle ne vérifieront pas les contraintes imposées...

Cela dit, il y a une infinité de solutions différentes, car on peut faire varier à sa guise la frontière intérieure au triangle initial en se contentant de respecter la condition d'aires égales, sans toucher au périmètre commun à l'un des deux morceaux et au champ initial.