Transformée de Fourier

[dispix]

Bonjour,

J'ai affaire à une transformée qui me pose problème. A savoir la suivante :

Transformée de Fourier de la fonction

Donc ça nous donnerais, en divisant l'intégral en 2 pour la valeur absolu et en multipliant par .

Maintenant mon problème est : comment intégrer de - l'infini à 0 et de + l'infini à 0 une fonction sinus ? Le décomposer en exponentielles ? Le découpage en 2 intégrales parait-il judicieux ?

Merci d'avance pour l'aide apportée

[Ben314]

Tout d'abord, tu ne risque pas d'intégrer sin(x) de 0 à l'infini.....
Il faut absolument garder l'exponentielle (au dénominateur) : c'est elle qui rend l'intégrale convergente.
Il me semble qu'en faisant DEUX intégrations par parties, on exprime l'intégrale en fonction... d'elle même (ce qui permet d'avoir sa valeur)
N'oublie pas de JUSTIFIER les étapes (intégrales convergentes ?)

[dispix]

Tout d'abord, tu ne risque pas d'intégrer sin(x) de 0 à l'infini.....
Il faut absolument garder l'exponentielle (au dénominateur) : c'est elle qui rend l'intégrale convergente.
Il me semble qu'en faisant DEUX intégrations par parties, on exprime l'intégrale en fonction... d'elle même (ce qui permet d'avoir sa valeur)
N'oublie pas de JUSTIFIER les étapes (intégrales convergentes ?)

Le soucis c'est que j'ai une exponentielle avec une valeur absolue au dénominateur, qui va directement se simplifier avec la 2° composante de la transformée de Fourier (le e^(-2*pi*i*u*x)). Du coup j'ai plus de dénominateur :/

Je peut éviter de simplifier en gardant la valeur absolue, mais dans ce cas j'ai une intégrale vraiment tordue.

[Ben314]

Bonjour,
J'ai l'impression que tu as "oublié" certains "i" dans ta simplification.
Pour la transformée de fourier de x->f(x) on intégre (en x)
(ou bien mais cela ne chanche presque rien).
Si tu "simplife" les exponentielles, celle du numérateur est "imaginaire pure" (i.e. fonction périodique) et celle d'en bas réelle (i.e. fonction à "décroissance rapide").
En résumé,

En ce qui concerne le calcul de l'intégrale, tu l'écrit en deux morceaux (R_+ et R_-) et tu n'est pas obligé de faire deux intégrales doubles : tu peut aussi convertir le sinus en "exponentielle imaginaire"...

Bon courage.

[dispix]

J'arrive effectivement à la forme que tu a donnée, mais le problème est : comme faire pour les bornes + et - l'infini ?

Je vais remplacer x par + ou - l'infini, mais comment déterminer si l'exponentielle est nulle ou infini (à cause du u, dont on ne connais pas la valeur) ?

[Ben314]

ici, le u n'as pas beaucoup d'importance, car le module de e^{x+iy} est e^x: seule la partie réelle compte pour voir si l'intégrale est ABSOLUMENT convergente.
Essaye de prouver proprement (si ce n'est pas déjà dans ton cours) que, lorsque a<0 (réel) et b quelconque (réel), on peut intégrer x->e^{(a+ib)x} sur [0,+infty[.
Indic : c'est trés simple...

[dispix]

J'ai beau retourner ça dans ma tête, j'ai aucune idée de comment prouver ça, et je vois pas non plus l'intérêt de prouver qu'elle est convergente :/

J'en ai parlé avec un ami qui lui a posé l'hypothèse que comme u était un complexe (x+yi), il posait x>1 pour que l'exponentielle soit nul...

[Ben314]

- Quelle est la primitive de ?
- Que vaut l'intégale de 0 à M de ?
- Que se passe t'il lorsque (en supposant a<0) ?

Ou bien (plus simple et mieux) : tu as du voir que, pour les intégrales, absolument C.V. implique C.V.
- Quel est le module de ?
- Que vaut l'intégale de 0 à M de ?
- Que se passe t'il lorsque (en supposant a<0) ?


Remarque : dans les transformées de fourrier, il me semble bien que u est réel. (sinon ce seraient des transformées de laplace il me semble)

[dispix]

Donc si j'ai bien compris, lorsqu'on a une limite quand x->-infin de e^(x(a+ib)) on ne prend en compte que la partie réelle ? C'est une propriété que je n'avais jamais vu il me semble (ou que j'ai oublié...).

Du coup ça me simplifie grandement la vie, je vais voir ce que je peut faire avec !

Je me retrouve avec le résultat de la transformée de Fourier de sin(2x)/e^(|x|) égale à 0 (à la fin toutes mes intégrations s'annulent).

[Ben314]

Attention, on ne prend en compte que la partie réelle POUR SAVOIR SI L'INTEGRALE EST CONVERGENTE (en module).
Par contre, LA VALEUR de l'intégrale dépend à la fois de la partie réelle et de la partie imaginaire !!!