Forme Differentielle

[hamdo]

SALUT TOUT LE MONDE
VOICI L'EXERCICE SUIVANT


J'AI BLOQUé SUR LA DEUXIEME QUESTION.

[mathelot]

bonsoir,

il me semble que:

1) est fermée
car

2) si(x,y) appartient à un ouvert simplement connexe du plan,
est exacte. il existe F telle que =dF

mais alors, on peut intégrer la 1ère coordonnée de
(dans la base duale (dx,dy)) par rapport à la variable x
ce qui donne F modulo une constante K(y) ne dépendant plus de x.

On dérive ensuite l'expression trouvée pour F par rapport à y
pour déterminer K'(y).

[alavacommejetepousse]

bonsoir,

il me semble que:

1) est fermée
car

2) si(x,y) appartient à un ouvert simplement connexe du plan,
est exacte. il existe F telle que =dF

bonsoir ouvert étoilé plutôt

[hamdo]

SALUT mathelot
TU PEUX M'EXPLIQUER CETTE DERNIERE PHRASE
'' mais alors, on peut intégrer la 1ère coordonnée de
(dans la base duale (dx,dy)) par rapport à la variable x
ce qui donne F modulo une constante K(y) ne dépendant plus de x.

On dérive ensuite l'expression trouvée pour F par rapport à y
pour déterminer K'(y).''

[Ben314]

Le fait que ta forme soit exacte sur R^2 (car c'est un ouvert étoilé donc simplement connexe... mais c'est pas sûr que tu sache ce que veut dire simplement connexe d'où la remarque de alavacommejetepousse)
signifie qu'il existe une fonction f(x,y) sur R^2 dont la dérivée partielle en x soit 2xy^3+1 et celle en y soit 3x^2y^2-2y.
Ce que t'explique mathelot c'est que, pour retrouver f tu cherche une primitive (en x) de 2xy^3+1 (ou en y de l'autre terme évidement) mais que la "constante d'intégration" k (par exemple LES primitives de x->x^2 sont LES fonctions x^3/3 +k) est ici une constante PAR RAPPORT A x (i.e. quelque chose dont la DERIVEE EN x est nulle) : c'est donc une fonction de y : K(y). Pour trouver cette fonction, tu dérive en y...

[mathelot]

Pour compléter les explications de Ben314, et bien voir le lien entre analyse et
géométrie, considère l'angle polaire




Il faut rajouter dans le demi-plan gauche (x<0)

Elle est différentiable et conduit à



est alors fermée.

En intégrant le long d'un chemin du plan,on obtient la variation de l'argument . Si le chemin est un lacet entourant l'origine, on obtient l'indice (le nombre de tours autour du point O) du lacet par rapport à l'origine.

On obtient donc différents ouverts maximaux où est exacte. pour être précis, des plans privés d'une demi droite,
que l'on recolle selon les bords pour n'avoir plus qu'un seul domaine
de définition: c'est le début de la théorie des surfaces de Riemann..