Un fonction auxiliaire TS

[moi159]

Bonsoir ,


J'aurais besoin d'aide pour un exercice,

on me donne la fonction f définie par f(x) = x² + ln ( 1+ 1/x )

1) On considère le polynome

P(x) = 2 x^3 + 2x² -1

a) on me demande de montre que P(x) = 0 admet une unique solution réelle appartenant à [0;1]

Je ne sais pas comment faire ! ( mettre x en facteur ? )

Le reste de l'exercice porte sur cette unique solution , je suis donc bloqué ! :cry:


Merci d'avance

[Skrilax]

Salut,

En utilisant le TVI ça devrait marcher je pense :) tu montres que la fonction est strictement croissante et continue sur [0,1], qu'elle est négative en 0 et positive en 1 donc forcément elle s'annule en une valeur unique.

[Billball]

que vaut P(1), P(0)?

ca fait intervenir le théoréme des valeur intermédiaires !

[moi159]

Je n'ai pas encore vraiment parlé de ce théorème ...

Comment montré que la fonction est croissante ?

P(1) = 3

P(0) = -1

[moi159]

Par la suite on me demande de justifier que A ( la solution unique ) vérifie

A² = 1/ ( 2 ( A+1 ))

mais lorsque que je résous

2 A^3 + 2 A²-1 = 0

j'obtiens que A² = 1/2 - A^3 !

Suis je sur la bonne piste ?

[Billball]

bah pour montrer qu'elle est croissante faut que P'(x) > 0 sur l'intervalle

[bombastus]

Salut,
Le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) a été donné par Skrilax :

En utilisant le TVI ça devrait marcher je pense tu montres que la fonction est strictement croissante et continue sur [0,1], qu'elle est négative en 0 et positive en 1 donc forcément elle s'annule en une valeur unique.

Par la suite on me demande de justifier que A ( la solution unique ) vérifie

A² = 1/ ( 2 ( A+1 ))

mais lorsque que je résous

2 A^3 + 2 A²-1 = 0

2 A^3 + 2 A²-1, ça ne te rappelle pas quelque chose?

[moi159]

Non je ne vois pas très bien :s ( peut etre le polynome ? )

[bombastus]

Si A est l'unique solution réelle appartenant à [0;1], cela veut sire que P(A)=0...

[moi159]

oui .

Ce qui veut dire que

2A^3 + 2A²-1 =0

mais quand je résous je tombe sur A² = 1/3 - A^3

[bombastus]

En partant de :
2 A^3 + 2 A²-1 = 0
2 A^3 + 2 A²= 1
factorise le terme de gauche par A²

[moi159]

J'ai trouvé merci beaucoup.

J'aurais quelques questions de vérifications :

2) f(x) = x² + ln ( 1 + (1/x))

on me demande determiner le signe de ( x+1 / x) sur R et en déduire Df l'ensemble de définition de f

je trouve que (x+1) / x = 0 pour x = -1

Sinon positif sur R

J'en déduie que Df = R / ( 0 et -1 )

3) on me demande d'étudier les limites de f aux bornes de Df
Je dois étudier les limites en en - infini , 0 , -1 et + infini ?

pour - infini je trouve , 0 et + infini , je trouve + l'infini c'est correct ?

mais j'ai un probleme en -1 :s


4) on me demande de calculer f'(x) et de l'exprimer en fonction de p(x)


je trouve f'(x) = 2x + ( (2x²+x) / ( x^3 + x² ))

Ca ne me semble pas correct car je n'arrive pas à l'exprimer ensuite :s