Espaces complets

[ludo56]

Bonjour,

J'aurai besoin de cette propriété: C(I,B) (ensemble des fonctions continues de I vers B) avec I un intervalle de R (réels) compact. Alors B complet implique C(I,B) complet. Vrai?

Merci!

[switch_df]

Salut,

Ton affirmation peut être soit vraie soit fausse, cela dépend juste de la norme que tu utilises.

Pour une certaine norme C(I,B) est complet et pour une autre non. Aurais-tu une idée de quelle norme choisir?

[ludo56]

Dans la preuve que je regarde (Cauchy Lipschitz) ,l'auteur prend une distance
d qui a f,g de C(I,B) associe le sup pour t appartient a I de ||f(t)-g(t)|| avec ||.|| une norme de E (espace vectoriel de dim finie et B un fermé de E.

[alavacommejetepousse]

bonjour

alors c'est vrai

[barbu23]

Bonjour :
Jeter un oeil ici : :happy3:
http://www.les-mathematiques.net/a/e/t/node5.php3

[Ben314]

Sauf erreur de ma part, la réponse à ta question est oui dans le cas de la distance que tu donne.
La distance en question est celle qui muni C(I,B) de la norme dite "de la convergence uniforme" c'est à dire qu'une suite f_n de fonction de C(I,B)
converge vers f POUR CETTE NORME lorsque f_n C.V.U vers f.
Et cela sert dans la preuve pour justifier que, les fonctions f_n étant continues, si elles ont une limite, elle est continue... (c'est peut être pas trés clair : essaye de faire la preuve si tu veux, c'est pas super dur...)

Bien joué BARBU...

[switch_df]

En gros c'est vrai pour la norme du sup, mais pas pour une norme intégrale. On arrive facilement à se convaincre du résultat en faisant un dessin de la situation pour chacune des normes.

Avec la norme du sup, ta suite de Cauchy doit approcher ta fonction partout! Alors qu'avec une norme intégrale elle doit le faire seulement presque partout. On voit donc qu'avec la norme intégrale on peut tendre vers des fonctions qui sont non continues et donc la suite de Cauchy ne converge pas.