Equation différentielle TS

[adrien202]

bonjour,
j'ai un problème avec la dernière question d'un exo.

a) g(x)= 0,4cos(x)+0,2sin(X)

démontrer que g solution de l'équation y'+2y=cos(x) (E)

Donc celle la, c'est bon.

b) Démontrer que f est solution de (E) si, et seulement si,
f-g est solution de l'équation y'+2y=0

Pareil, là aucun soucis.

c) Résoudre (E)
je ne sait pas par où commencer ni les étapes à suivre.
Pourriez-vous m'aider?

Merci d'avance.

[annick]

Bonjour,
tu sais résoudre y'+2y=0. Donc tu peux trouver f-g. Tu connais g, donc tu peux trouver f.

[adrien202]

oui, mais en fait ce que je n'ai pas compris c'est qu'on nous dit :
montrer que g(x)= 0,4cos(x)+0,2sin(X) solution de (E)

puis on nous demande résoudre (E)
mais la solution de (E) c'est g...
Ou est-ce que f et une autre fonction solution de (E).
Et dans ce cas comment prouver qu'il n'y a pas d'autres solutions?

[annick]

g est une solution particulière de (E), mais on cherche une solution f générale. Et on arrive à la déterminer en partant de la solution particulière g.

[adrien202]

f(x) vaut-elle f(x)= x cos(x)+ 0,5x sin(x) ?

[Ericovitchi]

non, as tu vraiment trouvé la solution de y'+2y=0 ?

[adrien202]

j'ai fait:

f solution de (E) ssi f-g solution de y'+2y=0

je part de f-g solution de y'+2y=0

ssi (f-g)'+2(f-g)=0

ssi f '+2f= g'+2g

ssi f '+2f= cos(x)

ssi f solution de (E)

Est-ce juste?

[Ericovitchi]

oui très bien. Restes à trouver f-g solution de y'+2y=0 de laquelle tu déduiras f (puis que tu as déjà g).

Donc tu n'y coupes pas, il te faut résoudre y'+2y=0

[adrien202]

donc j'ai (f-g)= Ce^(-2x) avec C qui appartient à R.

donc f=Ce^(-2x)-g

désolé, il y a un truc que je dois pas comprendre mais je n'arrive toujours pas à trouvé f, ou en l'occurence C

[Ericovitchi]

C'est + g
f=Ce^(-2x)+g donc

Il n'y a pas à trouver C, tu as trouvé la forme générale de toutes les fonctions qui satisfont ton équation différentielle. Il y en a une infinité, C pouvant prendre n'importe quelle valeur dans R.

[adrien202]

D'accord, j'ai compris!
Merci beaucoup pour votre aide!