Système de 2 équations trigo

[mailagael]

Bonjour,
J'ai un nouveau problème pour vous, un système de 2 équations à 2 inconnues :
x=a.cos(A)-b.cos(A+B)
z=a.sin(A)+b.sin(A+B)

Les inconnues étant A et B... (x, z, a et b connues)

Une idée ?

Merci pour vos réponses

[Ben314]

Le problème revient à trouver un point P:(a.cos(A),a.sin(A)) du cercle Ca de centre O=(0,0) de rayon |a| et un point Q:(-b.cos(A+B),b.sin(A+B)) du cercle Cb de centre O de rayon |b| tels que vecteur(OP)+vecteur(OQ)=vecteur(OM) où M est le point de coordonnées M:(x,y) (faire un dessin).
Pour déterminer les solutions, il suffit de cherche l'intersection de Cb et du cercle de centre M et de rayon |b| (il y a donc 0, 1 ou 2 solutions selon le nombre de points d'intersection des deux cercles, cest à dire selon la position du réel racine(x²+y²) par rapport aux réels |a-b| et |a+b|...).
On peut évidement faire les calculs et déterminer A et B (ou, plus précisément leurs cosinus et sinus)...

[mailagael]

Merci pour cette réponse qui m'ouvre de nouvelles voies, mais je n'arrive pas bien à cerner la démarche... désolé !
En fait, si j'ai bien compris, je pourrais retrouver M après avoir trouver les points d'intersections des cercles Cb et C (le cercle de centre M et de rayon |b|).
Ces points d'intersections devraient-ils être P et Q ?
Aussi, je vois mal où vont apparaitre |a-b| et |a+b|, étant donné que a et b sont des longueurs de vecteurs non colinéaires.
Est-ce possible d'éclairer encore un peu plus ma lanterne ?
Merci

[Ben314]

Si tu trace les points d'intersection du cercle Ca de du cercle de centr M et de rayon a (et pas b : j'ai trompé) tu trouve les deux solutions possible pour le point Q (si les cercles se coupent) et, à chacun des deux Q correspond un P (le quadrilatère OPMQ doit être un parallélogramme).
Quand à a et b ce sont bien des réels (si j'ai bien compris ton énoncé) et les conditions que je donne sont celles correspondant à la détermination du nombre de points d'intersection de deux cercles de rayon respectifs |a| et |b| et tels que la distances entre les deux centres soit
OM=racine(x^2+y^2) (en plus dans tout ce que j'ai écrit, il faut lire "z" à la place de "y")

Pour trouver la solution "par le calcul", l'idée géométrique dit qu'on peut
commencer par chercher les réels : u=a.cos(A) et v=asin(A)
On a donc (1) : u^2+v^2=a^2
Mais comme on a u=x+b.cos(A+B) et v=z-b.sin(A+B) , on a aussi
(2) : (u-x)^2+(v-z)^2=b^2
En retranchant (1) à (2) tu exprime u en fonction de v (ou le contraire) puis tu substitue dans (1) -> tu obtient une équation du second degrés (d'inconnue v) qui peut avoir 0,1 ou 2 solutions...

[mailagael]

Merci infiniment pour ces précisions, ça me parait beaucoup plus clair. Je tâcherais de les appliquer demain.

Bonne nuit !