Nombre Premier!

[LaVegeta]

Je dois exprimez cette décimale infinie et périodique 0,321212121... comme une fraction ou le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux? (Aide: la somme infinie d'une suite géométrique avec premier terme a et raison r, ou -1 < r < 1, est égale à a/(1-r).)

Merci,

[sirglorfindel]

Il y a deux méthodes possibles (qui en fait reviennent au même mais celle utilisant les suites et la formule que tu a rappelée n'est pas toujours la plus simple à comprendre, mais par contre c'est la plus rigoureuse... ).

1° méthode (calcul direct) : on appelle x le nombre dont tu veux connaitre la forme fractionnaire (ici x=0,321212...). Tu multiplies x par 10 à la puissance le nombre de chiffres de la période (ici la période est 12 donc il y a deux chiffres et on multiplie x par 10^2=100) puis on soustrait x :
100x-x=32,121212...-0,321212...=31,8 (les parties décimales infinies s'éliminent).
Au final on a donc 99x=31,8 d'où x=31,8/99=318/990 et il ne reste plus qu'à réduire la fraction.

2°méthode (calcul avec les suites) : il faut commencer par décomposer ton nombre pour se ramener à une somme infinie de termes d'une suite géométrique :
0,32121212...=0,32+(0,0012+0,0012*10^(-2)+0,0012*10^(-4)+...)
La grande parenthèse est une somme infinie de termes d'une suite géomètrique de premier terme a=0,0012 et de raison r=10^(-2)=0,01. Il ne reste plus qu'à appliquer la formule :
0,321212...=0,32+0,0012/(1-0,01)=0,32+0,0012/0,99=...
il reste à mettre au même dénominateur et à réduire la fraction obtenue.
Bon courage

PS : tu dois obtenir 53/165

[Mikou]

En general la premiere methode n'est pas acceptée

[LaVegeta]

Merci sa me donne aussi se résultat, mais j'ai pas utiliser ta technique, je suis aller plusireurs test de divisons de nombres premier. puis sa ma donner le résultat. Pas la bonne façon, mais merci encore.