Variante du petit théorème de Fermat

par **mathk** » 07 Nov 2009, 15:10

Bonjour,

En lisant le lemme suivant, je ne suis pas arrivé à comprendre la démonstration :

Pour tout entier a premier avec p et pour tout exposant d :

Demonstration : supposons que

alors:

..
La démonstration continue, mais je ne comprends pas cette assertion.
Merci pour tous éclaircissements

par **Nightmare** » 07 Nov 2009, 15:13

Salut,

Ca veut dire quoi

? Je comprends pas tes notations...

par **mathk** » 07 Nov 2009, 17:03

Nightmare a écrit:Salut,

Ca veut dire quoi ? Je comprends pas tes notations...

a vrai dire c'est plus :

par **Nightmare** » 07 Nov 2009, 17:06

A vrai dire ça m'avance pas sur la notation !

Le d(mod p)-1 en exposant veut il dire kp+d-1 pour un certain k ?

par **mathk** » 07 Nov 2009, 17:14

Ok en fait l'exmple c'est a = 3, p= 5 d=6

par **laquestion** » 09 Nov 2009, 12:36

mathk a écrit:Bonjour,

En lisant le lemme suivant, je ne suis pas arrivé à comprendre la démonstration :

Pour tout entier a premier avec p et pour tout exposant d :

Demonstration : supposons que alors:

..
La démonstration continue, mais je ne comprends pas cette assertion.
Merci pour tous éclaircissements

dmod[p-1] est une classe c'est à dire l'ensemble des d+k(p-1) quand k parcourt les entiers relatifs. l'assertion de depart est vraie quel que soit un représentant de cette classe. cependant la deuxieme assertion n'est pas vraie en generale. je pense qu'on commet l'abus d'identifier la classe à son plus petit representant positif. la seconde assertion n'est alors vraie que si d est compris entre p et 2p si je ne me trompe pas (en tous cas c'est déjà faux pour d inferieur à p-1)

par **mathk** » 16 Nov 2009, 22:32

laquestion a écrit:dmod[p-1] est une classe c'est à dire l'ensemble des d+k(p-1) quand k parcourt les entiers relatifs. l'assertion de depart est vraie quel que soit un représentant de cette classe. cependant la deuxieme assertion n'est pas vraie en generale. je pense qu'on commet l'abus d'identifier la classe à son plus petit representant positif. la seconde assertion n'est alors vraie que si d est compris entre p et 2p si je ne me trompe pas (en tous cas c'est déjà faux pour d inferieur à p-1)

Aurais-tu la démonstration de la première assertion?
Merci

par **Ben314** » 20 Nov 2009, 15:29

Il me semble que ton "théorème" dit exactement la même chose que le petit théorème de fermat. Pour les notations, je pense comme nightmare qu'elle sont TRES PEU commodes...
A mon avis, il faut écrire le théorème sous la forme :
"Si p est premier, a un entier non divisible par p et d,d' deux entiers congrus modulo p-1 alors a^d et a^d' sont congrus modulo p."

et le théorème découle immédiatement du petit théorème de fermat car d'=d+k(p-1) donc
a^d'=a^d.(a^(p-1))^k=a^d.1^k=a^d modulo p.

On peut effectivement l'appliquer aux calculs de puissances :
MODULO 17 (qui est premier) on a :
30^50=(-4)^50 car 30=-4 modulo 17
=(-4)^2 car 50=2 modulo 16
=16=-1

Variante du petit théorème de Fermat

Variante du petit théorème de Fermat

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