Les Fonctions!

[LaVegeta]

Besoin d'aide, je suis perdu dans cette question!

La fonctione f(x): R -> R définie par f(x) = -x est bijective et a les deux propriétés suivante:

i. f exposant -1 est identique à f
ii. fof est la fontion identité sur R

Démontrez que pour toute fonction bijective f:D -> D, f exposant -1 est identique à f si et seulement si fof est la fonction identité sur D.

Merci,

[sirglorfindel]

Je pense que le début de la question (f(x)=-x) n'est pas en rapport avec la question posée. Il n'y a que la seconde partie qui est vraiment une question, à savoir : "Démontrez que pour toute fonction bijective f:D -> D, f exposant -1 est identique à f si et seulement si fof est la fonction identité sur D."

Pour démontrer cela, tu peux raisonner par double équivalence (d'abord montrer que si f^(-1)=f alors fof est la fonction identité de D puis ensuite démontrer dans l'autre sens).

1° sens : on suppose que f^(-1)=f, alors pour tout x de D, on a
fof(x)=f^(-1)of(x)=x...

2° sens : on suppose que fof(x)=x pour tout x de D.
Soit x appartenant à D, comme f est bijective, il existe y dans D tel que f(y)=x (autrement dit y=f^(-1)(x) ) et alors fof(y)=f(x)=y=f^(-1)(x).
Comme ceci est vrai pour tout x de D, on a bien f=f^(-1)