Matrice définie positive

par **ludo56** » 10 Nov 2009, 10:25

Bonjour,

je voudrais savoir si une matrice symétrique positive inversible est forcément définie positive?
merci d'avance !

par **kazeriahm** » 10 Nov 2009, 10:35

ludo56 a écrit:Bonjour,

je voudrais savoir si une matrice symétrique positive inversible est forcément définie positive?
merci d'avance !

Oui, ses valeurs propres ne peuvent pas etre nulles donc elles sont >0 et tu as la definie positivite

par **ludo56** » 10 Nov 2009, 10:50

Ah d'accord, je vois, en fait ça vient de D = C^(-1) A C avec C orthogonale et D diagonale réelle composée des valeurs propres de A,

et comme det A différent de 0,

(det D) = (det C^(-1)) (det A) (det C) = (det C)² (det A) différent de 0 car C inversible

D'où : donc les valeurs propres sont non nulles ! est-ce bien cela ? merci bien !!

par **kazeriahm** » 10 Nov 2009, 10:55

Oui enfin tu peux faire plus simple : innversible implique injectif (et meme equivaut dans le cas des endomorphismes en dimension finie), donc 0 n'est pas valeur propre de ta matrice.

par **ludo56** » 10 Nov 2009, 11:12

a oui, Ker f = 0 implique f(x) différent de 0 pour tout x non nul
implique il n'existe pas de x non nul tq f(x) = 0 implique 0 non vp de f

par **kazeriahm** » 10 Nov 2009, 11:26

implique matrice definie positive (puisqu'elle etait suppose positive)

Matrice définie positive

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