Problème ouvert

[romscau]

Bonjour!! Tu pourrais commencer par respecter le réglement pour ne pas être critiqué!

je me lance dans un nouveau problème en espérant que ça ne seras pas critiqué


Trouver a et b entiers naturels ( 0 (inférieur stricte) a (inférieur stricte) b) tel que a^b = b^a
montrer que c'est le seul couple (a,b) possible

bonne recherche

[dudumath]

cela équivaut à rechercher a et b entiers tels que ln(a)/a=ln(b)/b

en étudiant x-> ln(x)/x, on voit qu'elle est croissante jusqu'à e puis décroissante et tend vers 0 en l'infini
Elle est négative sur ]-oo,0[ et
Sur ]1,+oo[, elle est positive.

Entre 1 et e, il n'y a qu'un entier: 2
Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit qu'il existe un unique b réel tel que ln(b)/b=ln(2)/2
On s'aperçoit de plus que b=4 convient!

En effet, on a que ln(4)/4=ln(2)/2 (cela provient du fait que 2²=4 donc 2^4=2^(2²) et 4^2= (2²)^2 )

Problème sympatique et pas forcément facile à résoudre

[romscau]

bon raisonnement sauf que la fonction n'est pas definie sur ]-infini,0[ car ln est une fonction définie sur R+*

[dudumath]

Elle est négative sur ]-oo,0[ et
Sur ]1,+oo[, elle est positive.

bien sur, une erreur de frappe elle est à valeur dans ]-oo,0] sur ]0,1] mais vu la suite du raisonnement ca se concevait bien