Limite et derivanilité

[taeric]

bonjour aidez moi a resourdre se problême

soit f(x+h)=f(x)+hf'(x)+...+h^n /n!*f^(n)(x+;) h)
où 0< ;)<1 et fn+1 non nul
montrer que lim ;) = 1/n+1 quand h tend vers 0
merci

[yos]

bonjour aidez moi a resourdre se problême

Bonjour.

C'est bien de montrer qu'on peut être en math sup avec l'éducation et le niveau en orthographe du yéti, mais là tu débarques sur un forum et tu pourrais donc faire un petit effort.

L'exercice est, lui, plus intéressant.

On peut écrire Taylor à l'ordre n+1 de deux façons différentes :
1) classiquement;
2) en partant de Taylor à l'ordre n et en remplaçant par son développement de Taylor à l'ordre 1.

La confrontation des deux produit le miracle.

[taeric]

Bien vouloir m'excuser pour les fautes d'orthographe et de grammaire, je vais essayé de faire mieux.

Merci pour l'approche avec le développement limité
peut on faire cette démonstration en utilisant juste les propriétés des limites et de la dérivé d'une fonction merci

[yos]

Sans sortir , je vois pas.
Ecrit
.
C'est pas un simple développement limité, car j'ai le reste de Taylor.

[taeric]

bien je crois que je voie le bout, j'essaie et je vous fais signe

[taeric]

le problème c'est d'arriver à sortir de façon correcte

j'ai essayé en utilisant l'expression prescrite par Yos mais rien
n'est fait le résultât ne se dessine pas.

je ne sais pas si n'intervient que dans la dérivé à l'ordre n

peut on écrire


De l'autre côte j'ai remarqué que l'expression de ressemble beaucoup à celle du développement limité d'une fonction seul le dernier terme ne suis pas celle d'un développement limité

[yos]

peut on écrire

Ca ne sort pas le donc c'est pas utile.

j'ai remarqué que l'expression de ressemble beaucoup à celle du développement limité d'une fonction seul le dernier terme ne suis pas celle d'un développement limité

Tu ne connais pas le lien entre développement limité et formule de Taylor-Lagrange? Dans Taylor-Lagrange, tu as un reste explicite au lieu d'un et les coefficients du DL s'expriment à l'aide des dérivées de f. Sinon c'est pareil.

Dans la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre n, on peut remplacer
par (Taylor-Lagrange à l'ordre 1 pour ) :

,

En confrontant cette dernière égalité au développement de Taylor de f à l'ordre n+1 ci-dessous

,

il vient :



Si on prend h assez voisin de 0, de sorte que , on a


La continuité de en x nous donne le résultat.

[taeric]

bien je suis heureux :id:
merci cette demo marche et je voie claire maintenant, je vais essayé une autre méthode

[taeric]

j'ai utilisé les le théorème des accroissements finies
sur l'intervalle donc j'ai


et je compare les expressions


et on conclut