Matrices Equivalentes/Semblables

[Joker62]

Bonsoir/Bonjour.

Je me pose une question assez spéciale concernant ces matrices.
Pour le cas des matrices équivalentes, je les prends à coefficients à dans un anneau euclidien.

Pourquoi alors, dans le cas des matrices semblables, on prend les coefficients dans un corps ?

Il me semble que ce soit pour l'utilisation du théorème des invariants de similitude qui utilise la structure de k[X]-module.

La question est alors, est-il possible d'étendre le théorème des invariants de similitude dans le cas où on se trouve sur un anneau euclidien ?

Merci et bonne fin de nuit :)
Moi je file commencer la mienne :)

[Joker62]

En fait, il me semble qu'on les prenne à coefficient dans un corps pour pouvoir se ramener aux facteurs invariants d'une matrice à coefficient dans un anneau principal (k[X])

Et on sait que si A n'est pas un corps, alors A[X] n'est pas principal, donc même pas euclidien. C'est ce qu'il nous dit que l'on doit prendre les matrices semblable à coeff dans un corps pour avoir des liens entres les deux théories.

Merci quand même :p

[Nightmare]

Salut :happy3:

La réponse m'intéresse. Je ne comprends juste pas ce que tu entends par "se ramener aux facteurs invariants d'une matrice" ?

[Joker62]

En fait on a deux théorèmes de structures importants.

Si on se prend une matrice A a coeff dans un anneau euclidien (Valable aussi pour les anneaux principaux mais plus galère) on a le résultat suivant :

Il existe une famille (d1,...ds) unique aux inversibles près telle que :
i) ds | ... | d1
ii) la matrice A est équivalente à diag(ds,...d1,0,...0)

La famille (di) est appelée : famille des facteurs invariants de A

Pour les matrices semblables, on a le théorème des invariants de similitude :
Il existe une famille P1,...Ps de polynômes unitaires non constants telle que Ps|...|P1 et la matrice A soit semblable à une matrice par blocs, où les blocs sont les matrices compagnons associées au Pi

On a alors d'un côté : les facteurs invariants pour une matrice à coeff dans un anneau euclidien, de l'autre les invariants de similitude pour une matrice à coeff dans un corps. Le lien est le suivant :

Soit A dans Mn(k), les invariants de similitude de A sont exactement les facteurs invariants de A-XIn € Mn(k[X])

Donc pour utiliser ce théorème, on a en fait que k[X] soit un anneau euclidien (Principal dans le pire des cas)

Et on retrouve mon post 2 pour conclure qu'il y nécessité, pour avoir une cohérence dans les théories, de prendre les matrices semblables à coeff dans un corps :o

Edit : Orthographe :s

[Nightmare]

Super merci ! Je connaissais les invariants de similitudes (rencontrés pour prouver par exemple que deux matrices semblables dans Mn(k) sont semblables dans Mn(F) où F est une extension de k.)

[Joker62]

Oui par exemple.
Il est super puissant ce truc en fait. On passe de deux pages avec l'algèbre linéaire à quelques lignes en combinant plusieurs résultats.

Moi j'adore :p