Trouver x pour que f(x) soit un carré

[Bacterius]

Bonjour à tous,
je désirerais poser une question, à laquelle je ne trouve aucune solution même après avoir bien cherché. J'ai la fonction suivante :



Je connais n (c'est une constante). Pour l'exemple prenons n = 21 :



Comment trouver les valeurs de pour lesquelles est un carré parfait ? Je sais qu'il y a exactement deux solutions à chaque fois, une triviale (), et une correcte que je n'arrive pas à saisir. Quelqu'un a-t-il une idée ?

Merci d'avance

[nodgim]

Es tu certain des 2 solutions avec n impair ?

[Bacterius]

Bonjour nodgim (je ne vois pas ton message sur le forum pourtant j'ai reçu une notification :hein:). Je suis certain qu'il n'y a que deux solutions si je ne considère que n étant semipremier (facteur de deux premiers seulement). Car selon le théorème fondamental de l'arithmétique, n ne peut avoir alors que deux décompositions : ses deux facteurs premiers, ou alors 1 et lui-même. La deuxième solution est la triviale dont je parle, et la première est celle que je n'arrive pas à trouver. Donc, je suis certain qu'il n'y a que deux solutions (n semipremier bien sûr).

Et je précise qu'il me faudrait une solution algébrique pas trop difficile (en termes de complexité algorithmique), et il faudrait à tout prix éviter les solutions du genre "factorise n pour connaître ses facteurs" (car c'est justement ce que je cherche à éviter).

[nodgim]

Curieux, ce déplacement!
Pas grave.
On pose x²-4n=(x+-a)²
On aboutit à x=+-(2n/a+a/2)
Si n impair: 1 seule solution avec a=2 et x=+-(n+1)
Si n=2n on a 2 solutions avec a=2 et x=+-(2n+1) et a=4 et x=+-(n+2)

Si n=4n on a 3 solutions car "a" peut prendre les valeurs 2, 4 ou 8.
etc..

[Bacterius]

Je veux être un membre rationnel, non mais !

Il faut garder en mémoire que n ne peut pas prendre les valeurs qu'il veut. Il ne peut être le produit que de deux premiers. Les quelques nombres de ce type sont, par exemple : 4, 6, 9, 15, 21, 26, 35, 49 ... y compris tous les premiers. 12 n'en est pas un par exemple car (admet 3 facteurs premiers et non pas 2).
En fait, le nombre de solutions est égal au nombre de facteurs premiers (distincts ou pas) de , il me semble (je pense ...), car un nombre premier n'admet qu'une solution, qui renverra en fin de compte 1 et .
Mais voilà ! Comment trouver ces solutions ? Tu m'as donné une piste mais elle revient à factoriser n : en effet, quand tu poses que , tu as déjà factorisé n (cela peut sembler étrange mais oui, tu indiques que 2 est un facteur de n).
Seulement la fonction que je montre ici, je compte l'adapter pour tout nombre entier (même les plus fantasmagoriquement grands), et pas forcément avec des petits facteurs.

Ah et dernière chose que j'ai oublié de proposer : x est une somme de premiers (dans le reste de ma conjecture), donc doit être positive.

[Zweig]

Salut,

On veut résoudre (dans je suppose) l'équation suivante :

Remarquons que et sont de même parité. Comme le produit doit être pair, alors et doivent l'être aussi. De plus

1) Cas impair : On suppose que avec et des naturels premiers. D'après notre remarque, on doit avoir les deux facteurs pairs, comme 4 = 2^2, on a deux manière de décomposer 4n en produits de deux entiers pairs. On a donc trois solutions, avec la dernière 4n = 2*2n

Le deuxième sous-cas, lorsque n se décompose sous la forme d'un produits d'au moins 3 facteurs. Il n'existe alors qu'une unique solution qui est x = n+1 car il n'existe qu'une manière de décomposer 4n en produits de deux facteurs pairs :

2) Cas pair

Tout pair s'écrit sous la forme : avec un entier naturel impair (conséquen

[Bacterius]

Zweig, toi aussi tu pars du principe que tu connais la structure de n (pair, impair, divisible par 4, ...). Seulement moi, je ne la connais pas. Je sais seulement que dans le cas le plus simple de ma conjecture, avec et premiers, et je dois faire avec.

Je donne un exemple afin de montre qu'il n'existe que deux solutions (enfin pour montrer qu'il en existe au moins plusieurs pour certains n) :

n = 21

Si , alors (trivial)
Si , alors (fonctionnel)

Si je prends un produit de 3 premiers, genre 12 :

Si , alors (trivial)
Si , alors (fonctionnel)
Si , alors (fonctionnel)

Comme 12 n'admet que trois facteurs premiers, toute autre recherche serait vaine.

Si ça peut aider, je peux poster la démonstration du nombre de solutions qui satisfient que f(x) soit un carré parfait. Mais voilà, comme souvent, le plus simple est de démontrer l'existence des solutions et accessoirement leur quantité. Mais quant à leurs valeurs, c'est une autre histoire :we:
Notez, si ce problème s'avère indécidable, j'aurai quand même à mon actif un magnifique petit théorème :zen:

[Zweig]

Bah je ne traite que 2 cas ... Tu as dit que n était une constante, donc tu dois la connaître ?

Sinon, d'après mon raisonnement, on peut "facilement" déduire le nombre de solutions.

Dans le cas pair, on a autant de solutions que de manière d'écrire sous la forme , avec . Or l'équation ( fixé) admet (ça se déduit par des arguments combinatoires) couples solutions.

[Bacterius]

Oui, certes, je connais n, mais quand celui-ci fait 100 chiffres décimaux de longueur, il est difficile de savoir quelle est sa structure (ça revient à factoriser). Si n est pair, en effet tu le démontre de cette façon. C'est intéressant d'avoir des démonstrations différentes (je le démontre par le théorème fondamental de l'arithmétique), et j'obtiens les mêmes conclusions que toi. Au moins, on sait trouver le nombre de solutions, et on sait qu'elles existent. Je sais même trouver celle qui ne me sert à rien (la triviale).
En fait, ma question revient à résoudre :



N'y a-t-il pas un moyen simple de résoudre une telle équation sans devoir chercher exhaustivement les solutions ?

EDIT : je viens de penser à un truc : peut-être peut-on établir un rapport entre une solution de et la valeur respective de ? Cette relation devrait nécessairement inclure la valeur de dans son intégrité, ce qui est viable ...