Limites de fonctions

[rainbow67]

Bonjour à tous =),

J'ai un petit exercice à rendre dans une semaine mais je suis un peu bloqué =S
La première partie de l'exercice n'était pas très dur, mais en gros on nous demandait de chercher la limite qui est +inf et de comparer notre résultat avec une représentation graphique sur l'intervalle [0;100] qu'il donnait dans le livre et sur laquelle il semble que la fonction est pour limite -inf. Et on nous demandait d'expliquer l'incohérence entre les deux résultats qui d'après moi est du au fait que la fenêtre de représentation est mal choisie et que une limite est seulement visible pour un x assez grand.


Soit f la fonction définie par f(x) = x^4 - 10 006x^3 + 60 011x² - 110 006x + 60 000.

J'ai d'abord du prouver que cette fonction peut se mettre sous la forme : x^4( 1 - 10 006/x + 60 011/x² - 110 006/x^3 + 60 000/x^4) ce qui évident en factorisant par x^4.

Ensuite voici l'énoncé :
- Montrer que pour x positif, si les deux inégalités 10 0006/x < 1/4 et 110 006/x^3 < 1/4 sont vérifiées simultanément, alors f(x) est minorée par un nombre positif.
- Utiliser ce dernier résultat pour déterminer, sur la calculatrice, une fenêtre de représentation graphique de f cohérente.


J'ai du mal à comprendre pourquoi nous devons chercher un minorant et comment le faire à partir des deux inégalités =/

Merci pour votre aide! =)

[dudumath]

J'ai d'abord du prouver que cette fonction peut se mettre sous la forme : x^4( 1 - 10 006/x + 60 011/x² - 110 006/x^3 + 60 000/x^4) ce qui évident en factorisant par x^4.

Ah bon??

en développant on obtient du x^8... il y a une erreur dans ta factorisation (ou peut être un oubli de signes - ...)

[rainbow67]

Je ne crois pas qu'il y ai de fautes non =S puisque on obtient x^4 - 10 006x^4/x + 60 011x^4/x² - 110006x^4/x^3 + 60 000x^4/x^4 ce qui nous donne bien x^4 - 10 006x^3 + 60 011x² - 110 006x + 60 000.
Est ce que je me trompe? =S

[Ericovitchi]

Tiens pour info, si on s'amuse à factoriser ton équation, on trouve Rigolo non :we:

[rainbow67]

Ca ne m'aide pas beaucoup pour mon exercice mais oui on peut dire que c'est rigolo =) ;)

[Ericovitchi]

Mais qu'est-ce que tu n'arrives pas à faire alors ?
si 10006/x 40024 et x> 76)

alors

Mais ça c'est une équation bicarrée classique donc on peut étudier le signe et pour laquelle on peut montrer assez facilement qu'elle est minorée par son minimum (atteint pour x~245)

[rainbow67]

J'ai quand même du mal à comprendre pourquoi vous remplacez simplement -10006/x et -110 006/x^3 par -1/4 =/
On a vraiment le droit de faire çà comme çà?

[Ericovitchi]

je ne remplace pas, je ne dis pas que c'est égal, je dis que si je remplace ça fait augmenter la fonction. Je minore donc la fonction.

En effet 10006/x < 1/4 donc -10006/x > - 1/4
Si dans ma fonction je remplace -10006/x par -1/4, qu'est-ce qu'il se passe ? j'ai remplacé un coef par quelque chose de plus petit donc j'ai diminué la valeur de la fonction et donc j'ai le droit de dire que ma fonction est plus grande que celle que j'ai obtenue après avoir remplacé.

[rainbow67]

Oui je comprend =)

Et donc on a f(x)> x^4/2 - 60 011/x² + 60 000 mais comment de là arrive-t-on à un chiffre positif? =S

[Ericovitchi]

Si tu lisais les posts. Mon post #6 te donnait des indications

[rainbow67]

J'ai lu vos posts.........
Et premièrement il me semble bien que je n'ai jamais étudié le signe d'une équation bicarrée.. Et puis x^4/2 - 60 011/x² + 60 000 ce n'est même pas une équation vu qu'on ne sait pas à quoi elle est égale...

[Ericovitchi]

C'est

Si tu poses X=x^2, c'est une équation du second degré classique. Tu veux trouver le minimum, c'est trouver le sommet d'une parabole tournée vers le haut.

[rainbow67]

okay donc soit X=x² on a : X²/2 -60 011X +60000
Et comme a>0 c'est une parabole tournée vers le haut de sommet S(alpha;beta) avec alpha= -b/2a = 60011.

[rainbow67]

Rebonjour =)

Toujours pour mon exercice, j'aurais besoin de votre aide =)
j'aimerais résoudre l'inéquation f(x)>60000
ce qui équivaut à x^4-10 006x^3+60011x²-110006x +60000> 60000
<=>x²(x²-10006x + 60011- 110006/x) > 60000
<=>10006/x -60011/x²+ 110006/x^3> 1

J'en suis bloquée là =/ merci pour votre aide!

[Billball]

x^4-10 006x^3+60011x²-110006x +60000> 60000
<=>x²(x²-10006x + 60011- 110006/x) > 60000

relis toi c'est faux ..

[rainbow67]

oui excusez moi je me suis trompé le tout est supérieur à 0 =O