Incertitude pour une démonstration sur des noyau

[Stanley]

Bonsoir à tous,

Voila j'ai un petit problème pour une démonstration je suis pas sûr que j'ai correctement démontrer ce qu'il fallait :

Soit f endomorphisme de E, dim (E) = n
J'ai montré que Ker f compris dans Ker f² compris dans .... compris dans ker f^n+1
Idem pour les images (avec inclusion inversée)

Et je dois maintenant montrer qu'il existe k<n (inférieur ou égal) tel que :
ker f^k = ker f^k+1

Je pars des inclusions trouvées précédemment puis je "passe en dimension" j'encadre le tout par 0 et n ce qui me donne un truc comme ca :

0<dim(Kerf)<dim(kerf²)<...<dim(kerf^n+1)<dim(kerf^n+2)<n (inégalité large)
Je me suis arrêté à n+2 parce que ça suffit pour ma démo.

Dès lors, on a n+2 réels compris entre 0 et n, comme il nepeut pas y en avoir de négatifs, et qu'on ne peut en avoir que n+1 différents (0, 1, ... , n) alors forcément, il y en a un qui est égal à un des autres.

C'est suffisant comme démonstration ?

Par avance, merci


edit : oui j'ai oublier de dire j'ai juste montré qu'on a deux dimensions égales pour un ker f^k et ker f^k+1, mais comme l'un est compris dans l'autre les ensembles sont égaux

[Nightmare]

Salut !

Il ne faut pas seulement que deux soient égaux, ils faut qu'ils soient consécutifs dans ta suite !

[zerkel]

Salut !

Il ne faut pas seulement que deux soient égaux, ils faut qu'ils soient consécutifs dans ta suite !

salut,
On a une suite d'inclusions pourtant?

[Nightmare]

Oui je ne disais pas que c'était faux mais qu'il manquait un petit truc à ajouter (le fait qu'on ait une suite croissante)

[Stanley]

Ah oui j'avais pas pensé à ça merci :)
Je suppose que si ya pas eut d'autres remarques le reste est bon ? :P

[Nightmare]

C'est quoi le reste?

[Stanley]

Bah on a un truc du genre :

0<1<2<.......
les ... c'est une infinité de termes (dimensions de f^p pour tout p entier non nul) donc forcément yora des termes égaux et consécutifs puisque c'est une inéquation.

Non ?

[dudumath]

avec tes inclusions, en passant aux dimensions et en notant ai=dim ker f^i

tu as 0=
tu as n+2 naturels dans un intervalle de n+1 naturels, la conclusion est immédiate: il existe k, ak=a(k+1) et ker f^k C ker f^(k+1) te donne l'égalité entre les 2 ensembles

[Stanley]

tu as n+2 naturels dans un intervalle de n+1 naturels,

J'ajoute à ce moment qu'il sont rangé par ordre croissant ce qui garanti la "consécutivité" des deux termes étudiés, comme ça je crois que c'est bon (même si c'est assez immédiat de voir qu'ils se suivent).

Merci pour les réponses et bonne journée à tous :we: