P(x+1)-P(x)=x

[yumich]

Bonsoir à tous

Je suis en 1ere s

J'ai un devoir maison à faire, et je coince sur un exo :

1.a. Déterminer un polynôme du second degré tel que l'on ait, pour tout réel x :

P(x+1)-P(x)=x

b.Ecrire l'égalité précédente pour x=1, x=2, ..., X=n

c.En déduire la somme S1=1+2...+n

Voilà, j'arrive pas à faire (à comprendre surtout) le 1.a. , quelqu'un pourrait m'aider svp

[Nightmare]

Salut,

bah, qu'est-ce que tu ne comprends pas? Il n'y a rien de difficile dans la question.

C'est quoi un polynôme du second degré? C'est un polynôme de la forme P(x)=ax²+bx+c

On en cherche un qui vérifie P(x+1)-P(x)=x. On calcule ce que vaut P(x+1)-P(x) en fonction de a, b et c et x puis on identifie.

[Obiwan]

Si par exemple P(x)=x, P(x+1)=x+1
De même un autre exemple, si P(x)=x²-ax/2, P(x+1)=(x+1)²-a(x+1)/2

x => x et x => x²-ax/2 ne sont pas solutions de ton équation, mais il faut que tu trouves P(x) tel qu'en faisant P(x)-P(x+1), cette différence soit égale à x.
On t'aide : il s'agit d'un polynome, donc de la forme ax²+bx+c.
A toi de faire le même cheminement qu'au dessus, puis fait ton calcule et identifie pour trouver a,b et c :)

[zerkel]

Bonjour, je vais d'abord essayer de te donner juste une idée quitte à préciser plus tard si besoin. Pose et calule P(x+1) -P(x).

[benekire2]

exact!!

Pur ta question 1a c'est le même principe avec P(x)=ax²+bx+c
Donc P(x+1)= ...

[zerkel]

bon apparemment on a tous décidé de taper une réponse en même temps :p

[yumich]

Ok, donc P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c = ax²+2ax+a+bx+b+c
P(x)=ax²+bx+c

donc 2ax+a+b=x

dsl mais apres je vois pas comment on peut identifier vu qu'on a pas la formul avec que des x...

[benekire2]

bon apparemment on a tous décidé de taper une réponse en même temps :p

Deux vaut mieux que zéro !!

[benekire2]

Ok, donc P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c = ax²+2ax+a+bx+b+c
P(x)=ax²+bx+c

donc 2ax+a+b=x

dsl mais apres je vois pas comment on peut identifier vu qu'on a pas la formul avec que des x...

Et bien a=0.5 et b=... je te laisse la fin, tu identifie tes deux polynômes!! ( enfin un monôme..)

[Obiwan]

Ok, donc P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c = ax²+2ax+a+bx+b+c
P(x)=ax²+bx+c

donc 2ax+a+b=x

dsl mais apres je vois pas comment on peut identifier vu qu'on a pas la formul avec que des x...

Et bien tu y es
Il faut que les termes constants soient égaux des deux côtés, que les termes devant x soit égaux des deux côtés...
2ax et x => 2a=1
a+b et 0 => a+b=...


ps : benekire plus rapide

[benekire2]

en même temps encore une fois ^^

[zerkel]

On voit l'identification des polynômes terme à terme en lycée, j'aurais plutôt vu ça en sup?

[yumich]

donc par identification des coef et pour tt x appartenent à R...
{2ax=x
a+b=0

{2a=1
a=-b

{a=0.5
b=-0.5

donc x+0.5-0.5=x donc x=x... ça veut dire que s=]- infini ; + infini[ ?

[zerkel]

Ta conclusion est sensée être donc le polynôme... vérifie...

[Obiwan]

donc x+0.5-0.5=x donc x=x... ça veut dire que s=]- infini ; + infini[ ?

Ça c'est la vérification, en utilisant a et b trouvés dans un polynome que tu as élaboré (la réponse), tu l'as remis en équation et tu as bien trouvé "toujours vrai"


ps : {2ax=x {2a=1 est faux, car en divisant par x tu exclue le cas où x=0, or nous sommes sur R.
Tu n'as pas besoin de mettre {2ax=x, dis seulement que par identification, {2a=1

[benekire2]

Ou en es tu maintenant?

[yumich]

donc pour la reponse de 1.a. le polynôme c'est P(x)=x²/2-x/2 ?

[yumich]

dsl je mets du temps à comprendre^^ mais bon j'essaye de comprendre au lieu de bacler^^

[benekire2]

Oui normalement ton polynôme c'est ça :)

[yumich]

Merci apres je vois a peu pres ce qu'il faut faire :) merci à tous ce qui m'ont aidé !!