Theoreme de Rolle

[Florix]

Bonjour,

Voici un petit exercice :

Soit P un polynôme a coefficients réels possédant au moins n racines réelles distinctes x1,x2,x3,...,xn rangées dans l'ordre croissant. Demontrer que le polynome dérivé P' admet au moins n-1 racines réelles distinctes

Personnelement, je me suis dit degre de P = n car n racines distinctes, donc par définition degré de P' = n - 1 d'où n-1 racines distinctes

Mais dans la correction il est marqué "Appliquer le théorème de Rolle"

Je connais le théorème de Rolle, donc pas besoin de me l'expliquer, mais je vois pas le rapport avec cet exercice

1/ Pouvez vous m'expliquer pourquoi mon raisonnement avec les degrés est faux ou insuffisant
1/ Pouvez vous m'expliquer comment on fait avec le théorème de Rolle ?

Merci d'avance

Florix

[redwolf]

Bonjour.

Si P a n racines réelles distinctes, son degré est au moins n. Ce n'est pas forcément exactement n, parce que les racines peuvent avoir des multiplicités plus grandes que 1 et il peut y avoir des racines complexes.

De même, tu ne peux pas dire combien de racines réelles P' possède en regardant son degré. Le degré, c'est le nombre de racines complexes comptées avec leur multiplicité.

Le théorème de Rolle est exactement ce dont tu as besoin. Pour deux racines réelles successives de P, tu appliques le théorème de Rolle entre ces deux racines. Dans chacun des n-1 intervalles définis par les n racines, il te donne l'existence d'une racine de P'.

[Florix]

Ah oui c'est tout bête !

Merci beaucoup !

[hassan_smia]

bon j'ai trouvé ave le theoreme de rolle

on a p a n racine alors on range ces n racines de la maniers suivante
k1 < k2 on a p(k1) = p(k2) =0 alors il existe un t1 apartenant a l'interval k1 -k2 tel que p '(t1) =0 ceci d'apres le theoreme de rolle ; donc dans chaque interval Km-Km+1
alor on constate belle et bie nqu p' admet n-1 racine... :id: