Endomorphismes commutant

[Stanley]

Bonjour à tous, voilà je bloque dans un DM depuis deux jours.
Si quelqu'un pouvais me donner des indices ça serait vraiment très sympa (pas la solution directement svp) :

On a f un endomorphisme de R² (R ensemble des réels). f n'est pas une homothétie. Soit g un endomorphisme de R², qui commute avec f.

Montrer qu'il existe deux réels a et b tels que g = aId + bf (Id = application identique de R²)

Ce que j'ai essayé de faire : dans une question précédente, on a montré qu'il existe un vecteur u de R² tel que (u,f(u)) forme une base de R². En utilisant ça j'arrive a montrer qu'il existe un vecteur u tel que "il existe deux réels a et b tels que g = aId + bf", mais il faut montrer la propriété pour tout vecteur u, pas un seul, d'où mon blocage. Si j'arrive a montrer que f n'a pas de valeurs propres, alors c'est bon (car il existera toujours ce vecteur u tel que (u,f(u)) soit une base de R²) mais je vois pas comment. Et puis dans tout ça on n'utilise pas la commutativité de f et g.

Par avance, merci et bonne soirée à tous

[alavacommejetepousse]

Montrer qu'il existe deux réels a et b tels que g = aId + bf (Id = application identique de R²)

En utilisant ça j'arrive a montrer qu'il existe un vecteur u tel que "il existe deux réels a et b tels que g = aId + bf", Par avance, merci et bonne soirée à tous

bonsoir je présume que tu as montré en fait

g(u) = au +bf(u)


et non ce que tu dis (car sinon cest fini)

prouve la relation pour f(u) également et conclus ensuite par linéarité

[yos]

g = aId + bf

Il suffit de prouver ça sur la base (u,f(u)).
Il existe a et b tels que g(u)=au+bf(u) car (u,f(u)) est une base. Il te suffit à présent de montrer que g(f(u))=af(u)+bf(f(u)) (avec les mêmes a et b que ci-dessus bien sûr). C'est là que la commutativité intervient.

[Stanley]

Tout d'abord, merci pour vos réponses.

@alavacommejetepousse : oui désolé c'était bien g(u) = au +bf(u) (il existe au moins un u qui vérifie ca, puisque il existe au moins un u tel que (u,f(u)) soit une base de R²).
Mais je comprend pas ce que tu entend par "prouve ta relation pour f(u)" ?

@yos : Justement mon problème c'est que j'ai pas prouvé que (u,f(u)) est une base de R² pour tout u de R², j'ai juste prouvé qu'il existe au moins un u vérifiant ça.

Et d'ailleurs, je réalise à l'instant que ma preuve est fausse pour cette question, ou du moins je crois :
-Définition d'une homothétie de rapport k :
Pour tout u de R², f(u) = k.u
-Donc f n'est pas une homothétie de rapport k ssi :
Il existe u de R² tel que f(u) =/= k.u , mais il peut être égal à i.u (un autre coef quoi^^)

Du coup moi j'avais démontré qu'il existe un u tel que (u,f(u)) est une base de R² car libre et de taille maximale (2), mais j'en sais rien si elle est libre en fait... C'est pas parce que f n'est pas une homothétie que f(u) et u ne sont pas colinéaire. Si ?

[yos]

Si pour tout vecteur x le couple (x,f(x)) est lié, alors f est une homothétie. Tu l'as sans doute prouvé au début de l'exercice. Sinon il faudra le faire.
Du coup, f n'étant pas une homothétie, il existe un vecteur u tel que (u,f(u)) soit libre (donc une base car dim E=2).
De façon générale, pour démontrer que deux applications linéaires et sont égales, il suffit de le faire "sur une base" : au lieu de prouver que pour tout vecteur x, il te suffit de le prouver pour deux vecteurs formant une base. Par exemple u et f(u).
C'est ce que je te propose de faire ici.
Tu as donc g(u) qui s'exprime dans la base (u,f(u)) : g(u)=au+bf(u).
A présent, si tu parviens à démontrer que g(f(u))=af(u)+bf(f(u)) pour ce vecteur u là, (et pas pour tout u) tu as terminé.

[Stanley]

Merci beaucoup pour ta réponse !
Je connaissais pas du tout cette méthode "sur une base", c'est en effet plus simple. Et du coup g(f(u))=af(u)+bf(f(u)) se démontre immédiatemment puisque g(f(u))=f(g(u)), on remplace ensuite g(u) par au+bf(u) et on utilise la linéarité Plus de problème pour cette question donc.


Par contre, il y a encore quelque chose qui m'échappe (désolé :peur: ) :
"Si pour tout vecteur x le couple (x,f(x)) est lié, alors f est une homothétie."

Dans mon cours, j'ai la définition suivante :
Soit un réel k. l'homothétie de rapport k sur l'espace vectoriel E est définie par : pour tout x de E, f(x) = k.x

le réel k est fixé. Donc par exemple si je prend u et v deux vecteurs de R², et que je dis f(u)=2u et f(v)=3v, f n'est pas une homothétie (vu que le rapport n'est pas le même) et pourtant (u,f(u)) est liée et (v,f(v)) est liée aussi.

Là dans l'exo, on sais que f n'est pas une homothétie, mais rien ne me prouve que le rapport entre f(u) et u, pour tout u de R², n'est pas linéaire (condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un u et f(u) qui ne soient pas liés).

Je dois surement me tromper quelque part dans ce raisonnement, mais je vois pas où ?

[alavacommejetepousse]

je te propose de redemontrer ce résultat

on suppose que pour tout x (x,f(x) ) est liée on montre f homothétie

pour x non nul on peut écrire f(x) = k(x) x où k(x) est un scalaire

on montre k(x) ne dépend pas de x

on prend y non nul

1ier cas (x,y) liée prouve k(y) = k(x)
2 ieme cas (x,y) libre , en utilisant x+y prouve k(x) = k(y)

[Stanley]

Merci pour ta réponse. Comment utiliser dans le 2ème cas le x+y ?

J'ai fais f(x+y)=f(x)+f(y)=k(x)x+k(y)y mais comment utiliser la liberté de x et y ensuite pour arriver à k(x) = k(y) ? Je sais que si (x,y) libre, ax+by=0 ==> a=b=0, peut être qu'il y a un truc similaire si ax+by=f(x)+f(y) ? :P

Je peux pas dire (f(x),f(y)) libre car (x,y) libre, mais pourtant il me faudrais un lien entre les f(x),f(y) et x,y.

[alavacommejetepousse]

= k(x+y) ( x+y) également

[Stanley]

Ahhh viii !!! Shame on me :marteau:
on a k(x+y)(x+y) = k(x+y)x + k(x+y)y = k(x)x + k(y)y or x et y étant linéairement indépendant, on a k(x+y)=k(x)=k(y) :we: :we:

Merci beaucoup pour ton aide et ta patience :) (de même pour yos)
Bonne soirée :jap:

[Nightmare]

Salut,

autrement on peut remarquer que f commute avec n'importe quel projecteur d'image une droite vectorielle engendrée par x et donc f laisse stable toutes les droites de l'ev.

[ffpower]

cela dit, le fait que f stabilise toute droite, c est l hypothese^^

[alavacommejetepousse]

cela dit, le fait que f stabilise toute droite, c est l hypothese^^

je dirais même plus c 'est l énoncé :we:

moi je fais pas des preuves savantes seulement à la va comme je te pousse

[Nightmare]

Oui je suis un peu c** sur les bords (même à l'intérieur).

Bref, vu que f stabilise toute les droites, sa matrice est diagonale. Reste à prouver que sa diagonale est composée uniquement de 1, sauf erreur on s'en sort en regarder l'image du vecteur (1,1,....,1) par f.