Exprimer une intégrale de surface dans un ouvert de paramétr

[melreg]

Bonjour,

Voilà ma question: je considère une surface, un domaine et une paramétrisation de . Je dois calculer



Où sont deux fonctions différentiables à image dans (convenables pour l'intégration ici), le gradient est ce qu'on appelle parfois le gradient de surface. C'est écrit dans mes documents que dans l'ouvert de paramétrisation, cette intégrale s'exprime par:

=

où représente la matrice de la métrique associée à la paramétrisation . Le problème est que et ont pour domaine de définition et pas . Il doit y avoir une erreur... peut-être est-ce


=

Bref, je suis un peu perdu. Si jamais je n'ai pas décrit clairement mon problème, dites-moi et je viendrai ré-expliquer un peu mieux.
Merci d'avance, et à bientôt.

[melreg]

En fait, j'essaie de résoudre le problème aux valeurs propres sur la surface suivant:




pour autant que le bord existe (pensez par exemple à la sphère). J'aimerais appliquer les éléments finis. Du coup, j'essaie de trouver une formulation faible et je tombe sur ce que j'ai mis dans mon premier post. Mais si vous préférez m'aider en partant du problème ci-dessus...

Merci d'avance à tous (je suis conscient que mon sujet nécessite de s'y plonger un peu).

[mathelot]

salut !

dans le plan euclidien habituel
pour les calculs d'aire de parallèlogramme porté par une base positive , la forme volume est donnée :


la coordonnée (2,1) de la matrice vaut le produit scalaire

formule générale:

où M est la matrice
[/TEX]

pour les surfaces orientées plongées dans R^3

c'est assez compliqué. d'après ce que j'en ai compris,
l'orientation de l'espace euclidien ambiant
induit une orientation canonique naturelle sur les plans tangents
(par produit mixte ?), le 3ème vecteur étant le vecteur normal sortant
quand il s'agit de surface orientée.

ça donne une forme "déterminant" du plan tangent. On considère la 2-forme,
image réciproque par le morphisme du paramétrage.

On obtient une forme déterminant dans le domaine
de définition
du paramétrage.
c'est cette forme volume (un déterminant) que l'on intégre dans une carte
dans R^2, et qui, via l'image réciproque, une mesure d'aire sur la surface.

grosso modo, on calcule la surface des pays du globe terrestre dans
son atlas de géographie, mais avec un calcul d'aire qui restitue
le relief et les dimensions :zen:

cf Berger et Gostiaux "géométrie différentielle",

En tout cas ta formule de cours a l'air juste.

Elle vient de:
i) l'image réciproque, par le paramétrage (U,g) de l'orientation de l'espace tangent
ii) d'une formule dans qui relie le calcul d'aire
(forme déterminant) à une racine carrée de déterminant



En tous cas, c'est un sacré bidouillage car les formules d'intégrales
de fonctions définies sur des variétés orientées plongées dans n'ont pas l'air de se généraliser aux variétés riemanniennes.
On ne voit pas comment on récupére une orientation de l'espace tangent , canonique de surcroit, avec juste la donnée d'une métrique Riemannienne
qui peut être sacrément exotique

[melreg]

Merci pour ta réponse mathelot. En effet, c'est bien compliqué...
Le problème que j'ai soulevé dans mon premier post concerne en fait le domaine de définition des fonctions et à intégrer. C'est pourquoi, j'ai proposé une formule alternative incluant une paramétrisation pour faire en sorte que les domaines de définition soient cohérents.
Quand tu dis: "En tout cas ta formule de cours a l'air juste.", c'est la 1ère formule ou la seconde (celle avec )? Si c'est la première, dis-moi si tu ne trouves pas non plus bizarre cette histoire de domaine de définition...

Merci à toi d'avoir osé t'aventurer sur un sujet aussi périlleux...

[mathelot]

c'est urgent ? il faut que je regarde par exemple dans le Berger,Gostiaux
"géométrie différentielle", c'est expliqué en détail.

[melreg]

Non ce n'est pas urgent. je vais essayer de me procurer ce livre également.
J'attends de tes nouvelles... et encore merci.