Tangente

[Nyarlathotep]

Bonjour, voici mon exo:

-Soit f la foncton definie sur R par f(x)=e^(x) - x - 1. Soit (C) sa courbe representative et la droite (D) d'équation y= -x-1 est asymptote a (C). Je dois determiner l'équation de la tangente a (C) au point M d'abscisse a [ je trouve y=e^(a) - 1 +xe^(a) - x - ae^(a) ]. Cette tangente coupe la droite (D) en un point N d'abscisse b et je dois verifier que b-a=-1. Que dois je faire? Prendre un point a=2 et verifier que b-a=-1??

Merci d'avance!

[Ericovitchi]

Prendre un point a=2 et verifier que b-a=-1??

Ha non pas du tout !

Le point que tu cherches d'abscisse b et d'ordonnée y est sur les deux droites donc ses coordonnées satisfont les équations des deux droites
donc
y=-b-1
y=e^(a) - 1 +be^(a) - b - ae^(a)

tu simplifies tout ça et tu vas tomber sur la formule qu'ils demandent.

[Nyarlathotep]

pourquoi y=b-1 <=> y=e^(a) - 1 +be^(a) - b - ae^(a)??

[Ericovitchi]

Ca n'est pas équivalent, ce sont 2 équations indépendantes.
Je vois que tu n'as pas compris. Je recommence :

le point cherché est sur l'asymptote d'équation y= -x-1
Et sur la tangente d'équation y=e^(a) - 1 +xe^(a) - x - ae^(a)

Ses coordonnées satisfont donc les deux équations à la fois.

On te dit que l'abscisse de ce point d'intersection est égal à b
donc x=b

Si je remplace x par b dans les deux équations ça donne :
y=-b-1
y=e^(a) - 1 +be^(a) - b - ae^(a)

donc
-b-1=e^(a) - 1 +be^(a) - b - ae^(a)

Ca se simplifie très bien et ça donne b-a=-1

[Nyarlathotep]

oui d'accord je comprends a present et la simplification est assez simple^^

Merci Ericovitchi