Suites ...

par **mathilde36** » 01 Nov 2009, 10:36

Bonjour, je viens demander un peu d'aide pour mon dm de maths, il n'est pas noté mais je tiens quand même a le faire, j'ai mon ds dans pas longtemps...

Donc je bloque sur un exercice sur les suites, voici l'énoncé:

Soit la suite (Un) définie par U0=1 et Un+1= Un/(1+Un)

1-a) Montrer que tous les termes de cette suite sont strictement positifs
b) etudier son sens de variation
2-a) montrer que la suite (Vn) définie par Vn= 1/Un est une suite arithmétique
b)En déduire l'expression de Vn puis de Un en fonction de n

Voila, alors pour commencer la premiere question je n'es aucune idée de comment faire, j'ai vu aucune méthode pour quand on demande si c'est positif, j'ai juste vu les minorants et majorants...
Pour la 1-b) je pense qu'il faut comparer le quotient Un+1/Un au nombre 1 vu qu'on nous dit que tout les termes sont positifs.
Pour la 2-a) je ne sais pas s'il faut prendre le Un de la question 1 donc j'ai rien commencer...

Merci d'avance pour votre aide.

par **flodu17** » 01 Nov 2009, 10:49

Pour la première question, tu cherche a démontrer que Un>0 quelque soit l'entier n, donc tu démontres cela par récurrence =) tu initialise en disant que c'est vraie pour U0 et tu continues au rang n, et n+1...

ensuite pour la croissance ou la décroissance, tu fais Un+1 - Un et tu dois normalement trouver si c'est positif ou négatif, plus qu'a conclure !

après tu écris Vn+1, tu trouves quelques chose avec Un+1 et donc ensuite Un, comme tu connais Vn en fonction de Un, tu écris ce même Un en fonction de Vn et tu remplaces ..

Vn+1 =1/Un+1

or Un+1= Un/ 1 + Un donc Vn+1 = 1/(Un/Un + 1) et tu continues, comme Un= 1/Vn tu remplaces pour trouver Vn+1 en fonction de Vn =)

par **mathilde36** » 01 Nov 2009, 11:19

Donc pour la 1.a) j'ai fais :
Uo=1 >0

U1= Uo/1+Uo
= 1/2

U2= 1/3

Est ce que je dois aller loin comme ça?

Pour la 1.b) j'ai fais:

Un+1-Un
= Un/1+Un - Un
= (Un-Un(1+Un))/1+Un

Est ce que c'est ça?

par **flodu17** » 01 Nov 2009, 11:29

tu n'as pas encore vu le raisonnement par récurrence ? en fait jte donne une démonstration :

Soit Pn (en indice) la propriété définie par Un>0. On a bien U0=1 qui est supérieur a 0 donc P0 est vraie. Supposons cette propiété vraie au rang n>0, on a alors Un>0

donc 1 + Un>0, et Un/1 + Un >0

ce qui signifie, Un+1 > 0

Donc Pn est vraie, on a bien Un>0 ...

Pour l'autre question,

Un+1-Un
= Un/1+Un - Un
= (Un-Un(1+Un))/1+Un

oui c'est ca, tu en conclu quoi ?

par **mathilde36** » 01 Nov 2009, 11:37

et bien moi j'ai vu ce qu'était une suite définie par récurence, mais pas le résonnement.

Pour l'autre question j'ai continué en faisant :

j'ai mis Un en facteur, et j'ai
(Un(Un-1+1))/1+Un
=Un/1

C'est croissant non?

par **flodu17** » 01 Nov 2009, 11:51

euhh je crois pas tu as bien calculé les premiers terme, ca donne 1,1/2,1/3 nan ? donc plutot décroissant...

regarde

Un+1-Un
= Un/1+Un - Un
= (Un-Un(1+Un))/1+Un
= Un -Un -Un² / 1+ Un
= -Un²/1 + Un

comme un>0, Un²>0 et -Un²<0 ...donc Un+1 - Un <0, décroissant...

par **mathilde36** » 01 Nov 2009, 11:54

Bah voila c'est la que je comprend pas, si l'on va très très loin dans le calcul des termes, la suites qui est décroissante, va devenir négative a un moment non? et donc tout les termes ne seront pas positifs?

par **flodu17** » 01 Nov 2009, 11:56

et pourquoi ca va devenir négatif ? O_o ca va se rapprocher de 0 .. et devenir infiniment petit, la limite de la suite en l'infinie est 0 ;)convergente en 0 si tu préfères

par **mathilde36** » 01 Nov 2009, 11:58

ah... Dans notre chapitre nous ne sommes pas encore arriver aux limites de suites, et les suites convergentes ou divergentes, c'est pour ça...

par **flodu17** » 01 Nov 2009, 12:09

oui, tu es en première S ? si c'est le cas tu verras le raisonnement par récurrence l'année prochaine ..:S

par **mathilde36** » 01 Nov 2009, 12:31

Je suis en terminale s mais on commence juste le chapitre sur les suites donc ...

Pour en revenir a mon exercice, pour montrer que Vn=1/Un est arithmétique je dois prouver que Un+1-Un est constant?

par **flodu17** » 01 Nov 2009, 12:40

jte l'ai dis tout a lheure comment faire..

après tu écris Vn+1, tu trouves quelques chose avec Un+1 et donc ensuite Un, comme tu connais Vn en fonction de Un, tu écris ce même Un en fonction de Vn et tu remplaces ..

Vn+1 =1/Un+1

or Un+1= Un/ 1 + Un donc Vn+1 = 1/(Un/Un + 1) et tu continues, comme Un= 1/Vn tu remplaces pour trouver Vn+1 en fonction de Vn =)

par **mathilde36** » 01 Nov 2009, 12:43

Je croyais que c'etait pour la 2.b), car en fait je comprend pas en quoi ça prouve qu'elle est arithmétique

par **flodu17** » 01 Nov 2009, 13:04

bah a la fin tu trouveras surement vn + un chiffre constant... donc arithmétique de raison chiffre constant ;)

par **mathilde36** » 01 Nov 2009, 13:21

j'en suis arrivée a :
vn+1= (Vn(1-Vn))/Vn
= 1-Vn

Arithmétique de raison 1?

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