Application injective

[maxl135]

Bonjour,

j'ai un soucis pour répondre aux deux dernières questions de mon exercice :

1) Soient f une application d'un ensemble E vers un ensemble F. Montrer l'équivalence des assertions suivantes :
- Pour tout A et B étant des sous-ensembles de E, f(A ;) B) = f(A) ;) f(B)
- f est injective


2) Soient A, B, C, D des ensembles, f : A dans B, g : B dans C et h : C dans D des applications. On suppose que g o f et h o g bijectives. Montrer que f, g et h sont bijectives.


Pour la question 1 mon problème principal est de démontrer que f(A ;) B) = f(A) ;) f(B) implique f injective.

Pour la question 2 j'ai une petite idée.
g o f bijective donc g surjective, f injective et card A = card C
h o g bijective donc h surjective, g injective donc g bijective et card B = card D
Or g bijective donc card B = card C. D'où card A = card B = card C = card D
Donc f, g et h sont bijectives. Voilà globalement ma démonstration pour la question 2.

Merci pour votre aide.

[girdav]

Salut.
Pour la 1 montre que si alors .
Pour la deux tu peut déduire ce qu'il faut une fois que tu as montré que est bijective en sachant que la composée de deux bijections est une bijection.

[Mathusalem]

Salut

Une piste de plus pour la 1). En général, il suffit d'écrire les choses en algèbre linéaire pour se rendre compte de la solution

Mais suppose que f(A B) = f(A) f(B) vrai pour A,B dans E. Alors en particulier, prend a,b éléments de E. Tu auras alors f(a b) = f(a) f(b). Si a b, alors qu'est-ce que tu déduis sur les intersections ?

A+

[Zavonen]

Pour la question 1 mon problème principal est de démontrer que f(A B) = f(A) f(B) implique f injective.

Applique la propriété en prenant pour A et B des singletons.

[maxl135]

Si g o f est bijective et si g est bijective alors peut-on dire que f est bijective ?

[girdav]

Oui, en composant à gauche par qui est bijective.