Exercice galère

[paraboles]

Bonjour à tous,

Je revient avec un exercice galère. S'il vous plait ne croyez pas que je cherche que les réponses, ce qui importe c'est que je comprenne bien, en plus parait-t-il que le chapitre sur les paraboles est très important (c'est vrai ???, Y'en aura au bac ?)

Donc je viens sur l'exo en lui même. Je ne vais pas écrire toute les questions, je préfère les écrires au fur et à mesure afin d'éviter toute ambiguïté.

ABCD est un rectangle tel que AB=10 et AD=4 (unité de longueur est cm)

Soit x un nombre réel positif, intérieur ou égal à 4; on construit les points E,F, G et H respectivement situés sur les côtés AD, DC, CB et BA, tels que AE= x, DF=2x, CG=x et BH=2x

1) Montrer que l'aire de EFGH est égale à 4x² - 18x + 40

MERCI A TOUS

[Timothé Lefebvre]

Salut,

as-tu fait un schéma ?
Si oui je te propose un méthode.
Calcule l'aire de ABCD, enlève-lui l'aire de AEH, puis celle de GHB, celle de DFE et enfin celle de CFG.
Il ne te restera plus que l'aire cherchée.

[paraboles]

Re :)

oui j'en ai fais, ta méthode parait parfaite, je l'a fait et te tiens au courant

[Timothé Lefebvre]

Ok d'accord :)

[paraboles]

:)

Voilà où j'en suis :

Pour commencer calculons l'aire de DEF ainsi que AEH.

L'aire d'un triangle se calcul de la manière suivante : 1/2 * (Base*Hauteur)

Commençons par l'aire de DEH : 1/2 * (DE*DF)

Ce qui nous donne : 1/2 * (4-x) * 2x = 1/2 * 8x - 2x²

A présent calculons l'aire de AEH : 1/2 * (AE * AH)

Ce qui nous donne : 1/2 * (x * 10-2x) = 1/2 * x * 10 - 2x

Maintenant calculons l'aire de ABCD = L*l = 10 * 4 = 40 cm²

Donc : 40 - 2 ((1/2 * 8x - 2x² + (1/2 * 8x))

40 - 16x + 4x² - 16x

40 + 4x² - 32

Il y a un soucis quelque part mais je trouve pas où, je sais que 40 et 4x² sont ok, mais à la place de 32 il faut -18x

[Timothé Lefebvre]

Je vais manger et je regarde ça après, si personne n'a vérifié avant ;)

[paraboles]

Ok merci, bon appétit

[Timothé Lefebvre]

Alors première remarque, on doit avoir A(AEH)=A(FCG) et A(DEF)=A(BGH).
Vois-tu pourquoi on a ces égalités d'aires ?

[paraboles]

Oui je suis d'accord avec toi.

[Timothé Lefebvre]

Super, et est-ce le cas dans ton raisonnement ?

PS : tu as quelques fautes de frappe et tu peux réduire tes résultats.

[paraboles]

Oui puisque ensuite je multiplie par 2

[Timothé Lefebvre]

Quelles valeurs trouves-tu pour chaque aire alors ?

[paraboles]

J'ai réussi finalement !

40-(8x-2x²+10-2x²)
40 - 8x + 2x² - 10x + 2x²
40 - 18x + 4x² :we:

[paraboles]

Par contre les deux questions d'après !

2)a) Pour quelle valeur de x l'aire de EFGH est elle minimale ?

b) pour quelles valeurs de x l'aire de EFGH est elle égale à la moitié de celle de ABCD ?

[Timothé Lefebvre]

Pour le a tu regardes l'extremum du polynôme P tq P(x)=4x²-18x+40.

Pour la b tu exprimes ça sous forme d'une équation à résoudre.

[paraboles]

Merci mais j'ai pas compris pour la "a", je suis désolé

[Timothé Lefebvre]

Pas de soucis ;)

En fait ici il faut te rappeler de la formule qui fixe l'abscisse du sommet de la parabole.
Ton polynôme est P(x)=4x²-18x+40.
Quel est l'abscisse de son sommet ? Rappel : x=-b/2a.

Lorsque le coefficient a d'un polynôme (ici a=40) est positif alors la parabole est tournée vers le haut. Dans le cas ou a est négatif, elle est tournée vers le bas.
Dans notre cas, le fait que la parabole soit tournée vers le haut nous indique que son sommet sera la valeur minimale du polynôme.

En d'autres termes, la valeur minimale dont parle l'énoncé se trouve en calculant x=-b/2a avec a et b les coefficients du polynôme trouvé à la première question.

Comprends-tu ?

Je vais goûter et je reviens :lol:
Dans 10 ou 15 min ^^

[paraboles]

Merci,

Alors l'abcisse est donc : -b/2a

18/ 8 = 2.25

[Timothé Lefebvre]

Re,

tout à fait.
Donc la valeur de x pour laquelle l'aire de EFGH sera minimal est 2,25.

[paraboles]

Ok merci beaucoup.

Pour la seconde faut faire ca ? :

4x² - 18x + 40 = 20 ?